%[Phạm Văn Long, 9-Toán học tuổi trẻ-T1/503] [T4/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$, $M$ là một điểm trên tia đối của tia $AB$. Vẽ cát tuyến $MCD$ đến đường tròn (với $C$ nằm giữa $M$ và $D$), $AD$ cắt $BC$ tại $I$. Xác định vị trí của điểm $M$ biết tứ giác $MCIO$ nội tiếp.

Lời giải

Vì tứ giác $MCIO$ nội tiếp nên $BI \cdot BC = BO \cdot BM$.
Vì tứ giác $ACIE$ nội tiếp nên $BI \cdot BC = BE \cdot BA$.
$\Rightarrow BO \cdot BM = BE \cdot BA$.
$\Rightarrow R(2R+MA)=(2R-AE) 2R$.
$\Rightarrow 2R+MA=4R-2AE \Rightarrow MA+2AE=2R$.
Lại có, tứ giác $MCIO$ nội tiếp nên $\widehat{IOM}=\widehat{ICD}$.
Mà $\widehat{ICD}=\widehat{IAO} \Rightarrow \widehat{IOM}=\widehat{IAO}$ hay $\triangle IAO$ cân tại $I$.
Suy ra $AE=EO$.
Từ đó suy ra $ MA+R=2R$ $\Leftrightarrow MA=R$.
Vậy nếu tứ giác $MCIO$ nội tiếp thì $MA=R$.
Ngược lại, với $MA=R$ ta cũng dễ chứng minh được tứ giác $MCIO$ nội tiếp.} {