Lời giải
Cách 1
Điều kiện $x^2-3x+1 < 0$.
Vì $$\begin{aligned} x^4+x^2+1 &\,=\,\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2\\ &\,=\, \left(x^2+1\right)^2-x^2\\ &\,=\,\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \end{aligned}$$ nên phương trình trong đầu bài có thể viết thành: \[3x^2-9x+3+\sqrt{\left(3x^2-3x+3\right)\left(x^2+x+1\right)}=0. \tag{1} \] Đặt $a=\sqrt{3x^2-3x+3} > 0$; $b=\sqrt{x^2+x+1} > 0$.
Ta có $$\begin{aligned} 3x^2-9x+3 &\,=\,2\left(3x^2-3x+3\right)-3\left(x^2+x+1\right) \\ &\,=\,2a^2-3b^2. \end{aligned}$$ Phương trình (1) trờ thành:
$\begin{aligned} 2a^2-3b^2+ab=0 &\Leftrightarrow (a-b)(2a+3b)=0\\ &\Leftrightarrow a=b (\text{vì } 2a+3b > 0). \end{aligned}$
Ta có $a=b \Rightarrow 3x^2-3x+3=x^2+x+1$ $\Leftrightarrow 2(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1$.
Thử lại thấy $x=1$ thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
Nhận xét
Điều then chốt của lời giải là các phân tích: $$\begin{array}{l} x^4+x^2+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right), \\ x^2-3x+1=2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2+x+1\right). \end{array}$$ Sau đây là cách trình bày khác của lời giải dựa trên các phân tích trên: $$ \mathrm{PT} \Leftrightarrow 2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)} $$ Chia hai vế cho $x^2+x+1 > 0,$ ta được $$\mathrm{PT} \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}-1=0$$ Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$, ta được một phương trình bậc $2$, từ đó tìm ra $t$, suy ra $x$.
Cách 2
Nhận thấy $x=0$ không thỏa mãn phương trình, chia cả hai vế của phương trình trong đầu bài cho $x \neq 0$, ta được $x+\dfrac{1}{x}-3=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+1}$.
Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}$ với ($|t| \geq 2$) $\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$, khi đó ta có phương trình $t-3=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{t^2-1}$.
Cách 3
Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy đi đến bất đẳng thức $(x-1)^{2} \leq 0$ suy ra $x=1$ là nghiệm.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét