Lời giải
Cách 1
Điều kiện x^2-3x+1 < 0.
Vì \begin{aligned} x^4+x^2+1 &\,=\,\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2\\ &\,=\, \left(x^2+1\right)^2-x^2\\ &\,=\,\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right) \end{aligned}
nên phương trình trong đầu bài có thể viết thành: 3x^2-9x+3+\sqrt{\left(3x^2-3x+3\right)\left(x^2+x+1\right)}=0. \tag{1}
Đặt a=\sqrt{3x^2-3x+3} > 0; b=\sqrt{x^2+x+1} > 0.
Ta có \begin{aligned} 3x^2-9x+3 &\,=\,2\left(3x^2-3x+3\right)-3\left(x^2+x+1\right) \\ &\,=\,2a^2-3b^2. \end{aligned}
Phương trình (1) trờ thành:
\begin{aligned} 2a^2-3b^2+ab=0 &\Leftrightarrow (a-b)(2a+3b)=0\\ &\Leftrightarrow a=b (\text{vì } 2a+3b > 0). \end{aligned}
Ta có a=b \Rightarrow 3x^2-3x+3=x^2+x+1 \Leftrightarrow 2(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1.
Thử lại thấy x=1 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Nhận xét
Điều then chốt của lời giải là các phân tích: \begin{array}{l} x^4+x^2+1=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right), \\ x^2-3x+1=2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2+x+1\right). \end{array}
Sau đây là cách trình bày khác của lời giải dựa trên các phân tích trên:
\mathrm{PT} \Leftrightarrow 2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}
Chia hai vế cho x^2+x+1 > 0, ta được
\mathrm{PT} \Leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}-1=0
Đặt t=\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}, ta được một phương trình bậc 2, từ đó tìm ra t, suy ra x.
Cách 2
Nhận thấy x=0 không thỏa mãn phương trình, chia cả hai vế của phương trình trong đầu bài cho x \neq 0, ta được x+\dfrac{1}{x}-3=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+1}.
Đặt t=x+\dfrac{1}{x} với (|t| \geq 2) \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2, khi đó ta có phương trình t-3=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{t^2-1}.
Cách 3
Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy đi đến bất đẳng thức (x-1)^{2} \leq 0 suy ra x=1 là nghiệm.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét