%[Phạm Văn Long, 7-Toán học tuổi trẻ-T1/503] [T2/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với góc $A$ nhọn. Hạ $BH$ vuông góc với $AC$ ($H$ thuộc $AC$). Đường thẳng qua $H$ song song với $BC$ và đường thẳng qua $C$ song song với $BH$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M$ là trung điểm của $HE$. Tính số đo $\widehat{AMC}$.

Lời giải

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$, nối $AN$. Ta có $\triangle ABC$ cân tại $A$, $AN$ là đường trung tuyến nên $AN$ cũng là đường cao, do đó $\widehat{ANC}=90^\circ$.
Vì $BH \perp AC$, $CE \parallel BH$ (giả thiết) nên $CE \perp AC$.
Xét $\triangle CHE$ và $\triangle HCB$
Có $\widehat{HCE}=\widehat{CHB}\text{\;}(=90^\circ)$.
$HC$: cạnh chung,
$\widehat{CHE}=\widehat{HCB}$ (so le trong, $HE \parallel BC$).
Do đó $\triangle CHE=\triangle HCB$ (g.c.g), suy ra $HE=CB$.} { Mà $\triangle CHE$vuông tại $C$, $CM$ là đường trung tuyến nên $CM=HM=\dfrac{1}{2} HE$.
Mặt khác $CM=HM$ nên $\triangle MCH$ cân tại $M$.
Do đó $\widehat{MCA}=\widehat{CHE}$.
Mà $\widehat{CHE}=\widehat{HCB}$ nên $\widehat{MCA}=\widehat{NCA}$.
Ta lại có $HE=CB$, $CM=\dfrac{1}{2} HE$ và $CN=\dfrac{1}{2} CB$ nên $CM=CN$.
Xét $\triangle AMC$ và $\triangle ANC$ có:
$AC$ cạnh chung,
$\widehat{MCA}=\widehat{NCA}$,
$CM=CN$.
Suy ra $\triangle AMC$ và $\triangle ANC$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{ANC}=90^\circ$. Cách 2.
Gọi $N$ là trung diểm của $BC$.
Nối $AN$, $NH$, $NM$.
Ta có $NA \perp BC$, $H M \parallel BC$nên $NA \perp HM$ (1).
Vì $HE=CB$, $HM=\dfrac{1}{2} HE$, $NB=\dfrac{1}{2} CB$ nên $HM=NB$.
Xét $\triangle HMN$ và $\triangle NBH$
Có: $HN$ cạnh chung,
$\widehat{NHM}=\widehat{HNB}$ (so le trong, $HE \parallel BC$),
$HM=NB$.
Do dó $\triangle HMN=\triangle NBH$ (c.g.c)
suy ra $\widehat{HNM}=\widehat{NHB}$.} { Hai đường thẳng $MN$ và $BH$ tạo với $NH$ hai góc so le trong $\widehat{HNM}=\widehat{NHB}$ nên $MN \parallel BH$.
Tương tự ta có $MC \parallel NH$.
Vì $MN \parallel BH$ và $HA \perp BH$ nên $HA \perp MN$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $A$ là trực tâm của $\triangle HMN$.
Do đó $MA \perp NH$ mà $MC\parallel NH$ nên $MA \perp MC$.
Vậy $\widehat{AMC}=90^\circ$.