Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Sáu, 25 tháng 9, 2020

%[Phạm Văn Long, 7-Toán học tuổi trẻ-T1/503] [T2/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Cho tam giác ABC cân tại A với góc A nhọn. Hạ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). Đường thẳng qua H song song với BC và đường thẳng qua C song song với BH cắt nhau tại E. Gọi M là trung điểm của HE. Tính số đo \widehat{AMC}.


Lời giải


Gọi N là trung điểm của BC, nối AN. Ta có \triangle ABC cân tại A, AN là đường trung tuyến nên AN cũng là đường cao, do đó \widehat{ANC}=90^\circ.
BH \perp AC, CE \parallel BH (giả thiết) nên CE \perp AC.
Xét \triangle CHE\triangle HCB
\widehat{HCE}=\widehat{CHB}\text{\;}(=90^\circ).
HC: cạnh chung,
\widehat{CHE}=\widehat{HCB} (so le trong, HE \parallel BC).
Do đó \triangle CHE=\triangle HCB (g.c.g), suy ra HE=CB.} { \triangle CHEvuông tại C, CM là đường trung tuyến nên CM=HM=\dfrac{1}{2} HE.
Mặt khác CM=HM nên \triangle MCH cân tại M.
Do đó \widehat{MCA}=\widehat{CHE}.
\widehat{CHE}=\widehat{HCB} nên \widehat{MCA}=\widehat{NCA}.
Ta lại có HE=CB, CM=\dfrac{1}{2} HECN=\dfrac{1}{2} CB nên CM=CN.
Xét \triangle AMC\triangle ANC có:
AC cạnh chung,
\widehat{MCA}=\widehat{NCA},
CM=CN.
Suy ra \triangle AMC\triangle ANC (c.g.c) \Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{ANC}=90^\circ. Cách 2.
Gọi N là trung diểm của BC.
Nối AN, NH, NM.
Ta có NA \perp BC, H M \parallel BCnên NA \perp HM (1).
HE=CB, HM=\dfrac{1}{2} HE, NB=\dfrac{1}{2} CB nên HM=NB.
Xét \triangle HMN\triangle NBH
Có: HN cạnh chung,
\widehat{NHM}=\widehat{HNB} (so le trong, HE \parallel BC),
HM=NB.
Do dó \triangle HMN=\triangle NBH (c.g.c)
suy ra \widehat{HNM}=\widehat{NHB}.} { Hai đường thẳng MNBH tạo với NH hai góc so le trong \widehat{HNM}=\widehat{NHB} nên MN \parallel BH.
Tương tự ta có MC \parallel NH.
MN \parallel BHHA \perp BH nên HA \perp MN (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của \triangle HMN.
Do đó MA \perp NHMC\parallel NH nên MA \perp MC.
Vậy \widehat{AMC}=90^\circ.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét