Lời giải
Gọi N là trung điểm của BC, nối AN. Ta có \triangle ABC cân tại A, AN là đường trung tuyến nên AN cũng là đường cao, do đó \widehat{ANC}=90^\circ.
Vì BH \perp AC, CE \parallel BH (giả thiết) nên CE \perp AC.
Xét \triangle CHE và \triangle HCB
Có \widehat{HCE}=\widehat{CHB}\text{\;}(=90^\circ).
HC: cạnh chung,
\widehat{CHE}=\widehat{HCB} (so le trong, HE \parallel BC).
Do đó \triangle CHE=\triangle HCB (g.c.g), suy ra HE=CB.} {

Mặt khác CM=HM nên \triangle MCH cân tại M.
Do đó \widehat{MCA}=\widehat{CHE}.
Mà \widehat{CHE}=\widehat{HCB} nên \widehat{MCA}=\widehat{NCA}.
Ta lại có HE=CB, CM=\dfrac{1}{2} HE và CN=\dfrac{1}{2} CB nên CM=CN.
Xét \triangle AMC và \triangle ANC có:
AC cạnh chung,
\widehat{MCA}=\widehat{NCA},
CM=CN.
Suy ra \triangle AMC và \triangle ANC (c.g.c) \Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{ANC}=90^\circ. Cách 2.
Gọi N là trung diểm của BC.
Nối AN, NH, NM.
Ta có NA \perp BC, H M \parallel BCnên NA \perp HM (1).
Vì HE=CB, HM=\dfrac{1}{2} HE, NB=\dfrac{1}{2} CB nên HM=NB.
Xét \triangle HMN và \triangle NBH
Có: HN cạnh chung,
\widehat{NHM}=\widehat{HNB} (so le trong, HE \parallel BC),
HM=NB.
Do dó \triangle HMN=\triangle NBH (c.g.c)
suy ra \widehat{HNM}=\widehat{NHB}.} {

Tương tự ta có MC \parallel NH.
Vì MN \parallel BH và HA \perp BH nên HA \perp MN (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của \triangle HMN.
Do đó MA \perp NH mà MC\parallel NH nên MA \perp MC.
Vậy \widehat{AMC}=90^\circ.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét