%[Phạm Văn Long, 6-Toán học tuổi trẻ-T1/503] [T1/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Cho ba số nguyên $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a=b-c=\dfrac{b}{c}$. Chứng minh rằng $a+b+c$ bằng lập phương của một số nguyên.

Lời giải

Từ điều kiện ở giả thiết có $b=a+c=ac$ với $c \ne 0$. Do đó $ac-a-c+1=1$, hay là $a(c-1)-(c-1)=1$ hay là $(c-1)(a-1)=1$. Do $a$, $c$ là các sô nguyên nên $c-1$ và $a-1$ đều là ước số của $1$ mà $c \ne 0$ suy ra $c=2$ và $a=2$ từ đo $b=a+c=ac=4$. Lúc đó $a+b+c=2+4+2=8=2^3$.