[T11/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$ và thỏa mãn $f'(x)\le\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a},\ \forall x\in(a;b)$, trong đó $a$, $b$ là các số thực cho trước và $a < b$.

Lời giải

Giả sử $f(x)$ là hàm cần tìm. Đặt $K=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)-K(x-a)$ thì $g(x)$ cũng xác định trên $[a;b]$ và có đạo hàm trên $(a;b)$.
Ta có $g'(x)=f'(x)-K\le 0,\ \forall x\in(a;b)$.
Do đó $g(x)$ không tăng trên $[a;b]$, mà $g(a)=g(b)=f(a)$ nên $g(x)$ phải là hàm hằng, tức là \[g(x)=f(x)-K(x-a)+C_1,\ \forall x\in[a;b]\Rightarrow f(x)=Kx+C,\ \forall x\in[a;b].\] Thử lại ta thấy hàm $f(x)=Kx+C$ thỏa mãn các điều kiện của đề bài.

[T12/503 Toán học & tuổi trẻ số 503, tháng 5 năm 2019] Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $K$ nằm ngoài đường tròn. Từ $K$ kẻ các tiếp tuyến $KI$, $KJ$ với đường tròn ($I$, $J$ là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia $IO$ lấy điểm $O'$ bất kỳ, vẽ đường tròn tâm $O'$ bán kính $O'J$ cắt đường tròn $O$ tại điểm thứ hai $A$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O')$ tại $D$ khác $A$. Một đường thẳng qua $K$ vuông góc với $O'D$ cắt đường tròn $(O')$ tại $B$ và $C$. Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải

Trước hết xin phát biểu không chứng minh hai bổ đề quen thuộc.
Bổ đề 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ theo thứ tự cắt $AB$, $CD$ tại $K$, $L$. Khi đó $IK=IL$.
Bổ đề 1 được gọi là định lí con bướm.
Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, $D$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ và phân giác của góc $\widehat{BAC}$. Điểm $I$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $DI=DB=DC$. Khi đó $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Trở lại bài toán, gọi $(D)$ là đường tròn tâm $D$ bán kính $DI$; $B'$, $C'$ theo thứ tự là các giao điểm của $(D)$ và các cung $\wideparen{ABD}$, $\wideparen{ACD}$ của $(O')$; $E$, $F$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $IB'$, $IC'$ và $(O')$; $L$ là giao điểm của $IK$ và $EF$; $K'$ là giao điểm của $IK$ và $B'C'$.
Dễ thấy $\triangle IDB'\backsim\triangle IEA$; $\triangle IDC'\backsim\triangle IFA$.
Từ đó, chú ý rằng $DI=DB'$, $DI=DC'$ suy ra $EI=EA$, $FI=FA$.
Do đó $EF$ là trung trực của $IA$.
Từ đó, chú ý rằng $LI\equiv KI$ tiếp xúc với $(O)$, suy ra $LA$ tiếp xúc với $(O)$.
Vậy, chú ý rằng $IO\equiv O'O$ là trung trực của $AJ$ và $KI$, $KJ$ tiếp xúc với $(O)$, ta có $IO$ là trung trực của $LK$.
Do đó $I$ là trung điểm của $LK$.
Áp dụng bổ đề 1 cho tứ giác $B'C'EF$, ta có $I$ là trung điểm của $LK'$. Vậy $K'\equiv K$.
Kết hợp với $B'C'\perp O'D$; $BC\perp O'D$, suy ra $B'C'=BC$.
Do đó $B'\equiv B$; $C'\equiv C$. Vậy $DI=DB=DC$.
Do đó, theo bổ đề 2, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.