Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 27 tháng 9, 2020

[tc3][T3/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a+b=c+d=2019ab\geq cd. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=\dfrac{a+3\sqrt[3]{b}+2}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}}.


Lời giải


Để cho gọn ta kí hiệu x=\sqrt[3]{a}, y=\sqrt[3]{b}, z=\sqrt[3]{c}, t=\sqrt[3]{d}.
Ta có x,y,z,t là các số thực dương, x^3+y^3=z^3+t^3, xy\geq zt.
Dùng hằng đẳng thức: \begin{align*} &x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy(x+y)=(x+y)\left[(x+y)^2-3xy\right]\\&z^3+t^3=(z+t)\left[(z+t)^2-3zt\right], \end{align*}
kết hợp với giả thiết x^3+y^3=z^3+t^3, xy\geq zt ta suy ra x+y\geq z+t\begin{align*} x+y < z+t&\Rightarrow (x+y)^2-3xy < (z+t)^2-3zt\\&\Rightarrow (x+y)\left[(x+y^2)-3xy\right] < (z+t)\left[(z+t)^2-3zt\right]. \end{align*}
điều này mâu thuẫn với giả thiết x^3+y^3=z^3+t^3.
Do đó: \begin{align*} P&=\dfrac{a+3\sqrt[3]{b}+2}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}}=\dfrac{x^3+3y+2}{z+t}=\dfrac{(x^3-3x+2)+3(x+y)}{z+t}\\&=\dfrac{(x-1)^2(x+2)+3(x+y)}{z+t}\geq \dfrac{3(x+y)}{z+t}\geq 3. \end{align*}
P=3 khi và chỉ khi x=1, x+y=z+t, xy=zt tức là a=1, b=2018 và hoặc (c,d)=(1,2018) hoặc (c,d)=(2018,1). Vậy \min P=3.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét