[tc3][T3/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b=c+d=2019$ và $ab\geq cd$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{a+3\sqrt[3]{b}+2}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}}$.

Lời giải

Để cho gọn ta kí hiệu $x=\sqrt[3]{a}, y=\sqrt[3]{b}, z=\sqrt[3]{c}, t=\sqrt[3]{d}$.
Ta có $x,y,z,t$ là các số thực dương, $x^3+y^3=z^3+t^3, xy\geq zt$.
Dùng hằng đẳng thức: \begin{align*} &x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy(x+y)=(x+y)\left[(x+y)^2-3xy\right]\\&z^3+t^3=(z+t)\left[(z+t)^2-3zt\right], \end{align*} kết hợp với giả thiết $x^3+y^3=z^3+t^3, xy\geq zt$ ta suy ra $x+y\geq z+t$ vì \begin{align*} x+y < z+t&\Rightarrow (x+y)^2-3xy < (z+t)^2-3zt\\&\Rightarrow (x+y)\left[(x+y^2)-3xy\right] < (z+t)\left[(z+t)^2-3zt\right]. \end{align*} điều này mâu thuẫn với giả thiết $x^3+y^3=z^3+t^3$.
Do đó: \begin{align*} P&=\dfrac{a+3\sqrt[3]{b}+2}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}}=\dfrac{x^3+3y+2}{z+t}=\dfrac{(x^3-3x+2)+3(x+y)}{z+t}\\&=\dfrac{(x-1)^2(x+2)+3(x+y)}{z+t}\geq \dfrac{3(x+y)}{z+t}\geq 3. \end{align*} $P=3$ khi và chỉ khi $x=1, x+y=z+t, xy=zt$ tức là $a=1, b=2018$ và hoặc $(c,d)=(1,2018)$ hoặc $(c,d)=(2018,1)$. Vậy $\min P=3$.