[tc4][T4/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Cho tam giác $ABC, \widehat{A} > 90^\circ$. Lấy điểm $I$ nằm giữa $B$ và $C$ sao cho $BA$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACI$ tại $D\left(D\not=A\right)$ và $CA$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABI$ tại $E\left(E\not= A\right)$, $ BE$ cắt $CD$ tại $N$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $MA$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta BNC$ tại $F$. Chứng minh rằng $A, D, E, F, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

Cách 1:<>
Các tứ giác $BEAI$ và $CDAI$ nội tiếp, ta có: $\widehat{NEA}=\widehat{AIB}=\widehat{ADC}$, suy ra tứ giác $CDAI$ nội tiếp. Gợi $F'$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(ADNE)$ và $(BNC)$; $M'$ là giao điểm của $F'A$ và $BC$. Vì các tứ giác $ADNF'$ và $BCNF'$ nội tiếp nên $\widehat{CBF'}=180^\circ-\widehat{F'NC}=\widehat{F'AD}=\widehat{BAM'}.$

Từ đó $\widehat{M'BF'}=\widehat{M'AB}$, suy ra $\Delta M'BF'\sim\Delta M'AB$ (g.g). Do đó $$\dfrac{M'B}{M'F'}=\dfrac{M'A}{M'B}\Leftrightarrow M'B^2=M'A\cdot M'F'.$$ Tương tự, ta có $M'C^2=M'A.M'F'$, nên $M'B=M'C$, tức là $M'\equiv M$ và $F'\equiv F$. Vậy các điểm $A,D, E, F, N$ cùng thuộc một đường tròn.
Cách 2:<> Dễ thấy $ADNE$ là tứ giác nội tiếp (Theo cách 1). Lấy $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$. Dễ thấy $ABKC$ là hình bình hành, ta có $\widehat{BKC}=\widehat{BAC}=\widehat{DAE}=180^\circ-\widehat{DNE}$. Suy ra $K$ thuộc đường tròn $(BNC)$. Từ đó $\widehat{MBA}=\widehat{BCK}=\widehat{BFK}$ tức là $\widehat{ABM}=\widehat{BFM}$.
Suy ra $$\Delta MBA\sim\Delta MFB\Rightarrow \widehat{FAD}=\widehat{MAB}=\widehat{MBF}=180^\circ-\widehat{FNC}.$$ Vậy $\widehat{FAD}=180^\circ-\widehat{FND}$, nên tứ giác $ADNF$ nội tiếp, suy ra các điểm $A, D, E, F, N$ cùng thuộc một đường tròn.