[tc5][T5/504, Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Giải hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l}& x^4 + 3x = y^4 + y \\& x^2 - y^2 = 2.\end{array} \right.\]

Lời giải

Đặt $x+y = a$; $x-y = b$ suy ra $x = \dfrac{a+b}{2}$; $y= \dfrac{a-b}{2}$.
Từ phương trình thứ hai trong hệ suy ra $ab = 2 \Rightarrow b = \dfrac{2}{a}$.
Ta có \begin{eqnarray*} x^2 + y^2 & = & \left( \dfrac{a+b}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{a-b}{2} \right)^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\\ x^4 - y^4 & = & (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = ab \left( \dfrac{a^2 + b^2}{2} \right) = a^2 + b^2. \end{eqnarray*} Phương trình thứ nhất trong hệ có thể viết thành \begin{eqnarray*} & & x^4 - y^4 + 3x - y = 0\\ & \Leftrightarrow & a^2 + b^2 + 3 \cdot \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{a-b}{2} = 0 \\ & \Leftrightarrow & a^2 + b^2 + a + 2b = 0 \\ & \Leftrightarrow & a^2 + \dfrac{4}{a^2} + a + \dfrac{4}{a} = 0 \\ & \Leftrightarrow & a^4 + a^3 + 4a + 4 = 0 \\ & \Leftrightarrow & (a+1)(a^3 + 4) = 0 \\ & \Leftrightarrow & \left[ \begin{array}{l}& a = - 1\\& a =-\sqrt[3]{4}.} \end{eqnarray*}

• Với $a = -1$ thì $b = -2$. Suy ra $x = - \dfrac{3}{2}$ và $y = \dfrac{1}{2}$.
• Với $a = -\sqrt[3]{4}$ thì $b = -\sqrt[3]{2}$. Suy ra $x = -\dfrac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}}{2}$ và $y = \dfrac{-\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}}{2}$.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là \[ (x;y) = \left( -\dfrac{3}{2}; \dfrac{1}{2}\right); \left( -\dfrac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}}{2};\dfrac{-\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{4}}{2} \right). \]} Với hệ phương trình có chứa $x^2 - y^2$; $x^4 - y^4$, việc đổi biến số như sau nhiều khi rất hữu ích: Đặt $x+y = a$, $x-y = b$ suy ra {2}

• $x = \dfrac{a+b}{2}; y = \dfrac{a-b}{2}$;
• $x^2 - y^2 = ab$;
• $x^2 + y^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}$;
• $x^4 - y^4 = ab \left(\dfrac{a^2 + b^2}{2} \right)$.

\end{nx