[tc64][T4/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ là các góc nhọn. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{DAB}=\widehat{BCM}$. Qua $B$ ẻ đường thẳng vuông góc với $CD$, đường thẳng này cắt đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ ở $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ và đường thẳng $AC$ vuông góc với nhau.

Lời giải

\immini { Gọi $H$ là giao điểm của $CM$ và $AD$; $K$ là gia điểm của $DE$ và $AC$. Từ giả thiết $\widehat{BAH}=\widehat{BCH}$ nên tứ giác $ACBH$ nội tiếp, suy ra $\widehat{AHC}=\widehat{ABC}$.$(1)$
Mặt khác, $EM$ là đường trung trực của $AB$ nên theo tính chất đường trung trực ta có:
$\widehat{AEM}=\widehat{BEM}=90^\circ - \widehat{EBM}=\widehat{ABC}$.$(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{AHM}=\widehat{AEM}$, nên tứ giác $AHEM$ nội tiếp, dẫn đến $\widehat{AHE}=\widehat{AME}=90^\circ$. } { } Do $\widehat{EHD}=\widehat{EBD}=90^\circ$ nên tứ giác $BDHE$ nội tiếp, ta có $\widehat{DHB}=\widehat{DEB}$.$(3)$
Lại có tứ giác $ACBH$ nội tiếp nên $\widehat{DHB}=\widehat{ACB}$.$(4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ ta có $\widehat{DEB}=\widehat{KCB}$, suy ra tứ giác $BCKE$ nội tiếp, từ đó $\widehat{EKC}=180^\circ -\widehat{EBC}=90^\circ$. Vậy $DE\perp AC$.