[T4/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[EX-tapchi15]%[DuongPham] Cho tam giác $ABC$ và $M$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $AC$. Vẽ hình bình hành $BMCE$. Tia $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $I$. Tia $DI$ cắt đường thẳng $BE$ ở $F$. Chứng tỏ rằng các điểm $A$, $D$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

[T4/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[EX-tapchi15]%[DuongPham] Cho tam giác $ABC$ và $M$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $AC$. Vẽ hình bình hành $BMCE$. Tia $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $I$. Tia $DI$ cắt đường thẳng $BE$ ở $F$. Chứng tỏ rằng các điểm $A$, $D$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

Xét trường hợp $F$ nằm giữa $B$ và $E$. Các trường hợp khác làm tương tự. Ta có $\widehat{FDC}=\widehat{IMC}$ (tính chất đối xứng).
Lại có $BI\parallel EC$ nên $\widehat{IMC}=\widehat{MCE}=180^\circ-\widehat{CEB}$.
Suy ra $\widehat{FDC}+\widehat{CEF}=180^\circ$ nên tứ giác $CDFE$ nội tiếp. (1)
Mặt khác, $\widehat{ABF}=\widehat{ABM}+\widehat{MBE}=\widehat{ACM}+\widehat{MCE}=\widehat{ACE}$.
Từ $BI\parallel CE$ và từ tính chất đối xứng ta có
$\widehat{AID}=\widehat{AIM}=\widehat{ACE}=\widehat{ABF}$.
Vậy nên tứ giác $ABFI$ nội tiếp. Từ đó ta có $\widehat{AFI}=\widehat{ABI}=\widehat{ACM}=\widehat{ACD}$, do đó tứ giác $ADCF$ nội tiếp.(2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm $A$, $D$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.