[T5/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Giải phương trình $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$.

[T5/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Giải phương trình $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$.

Lời giải

Đặt $t=x^2\,(t\geq 0)$, phương trình trở thành \begin{eqnarray*} t^3-7t+\sqrt{6}=0 &\Leftrightarrow& t\left(t^2-6\right)-\left(t-\sqrt{6}\right)=0\\ &\Leftrightarrow& t\left(t-\sqrt{6}\right)\left(t+\sqrt{6}\right)-\left(t-\sqrt{6}\right)=0\\ &\Leftrightarrow& \left(t-\sqrt{6}\right)\left(t^2+\sqrt{6}t-1\right)=0\\ &\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}& t=\sqrt{6} \\ & t=\dfrac{-\sqrt{6}\pm\sqrt{10}}{2}.} \end{eqnarray*} Vì $t\geq 0$ nên ta nhận $t=\sqrt{6}$ và $t=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}$.
Với $t=\sqrt{6}$ thì $x=\pm\sqrt[4]{6}$.
Với $t=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}$ thì $x=\pm\sqrt{\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}}=\pm\sqrt[4]{4-\sqrt{15}}$.
Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm là $-\sqrt[4]{6}$, $\sqrt[4]{6}$, $-\sqrt[4]{4-\sqrt{15}}$, $\sqrt[4]{4-\sqrt{15}}$.