[T6/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}& \log_{\tfrac{1}{4}}x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y+1 \\ & 128x^3\sqrt{4x^2+y^2}=y^3\sqrt{64x^2+y^2}.\end{array} \right.\]

[T6/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}& \log_{\tfrac{1}{4}}x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y+1 \\ & 128x^3\sqrt{4x^2+y^2}=y^3\sqrt{64x^2+y^2}.\end{array} \right.\]

Lời giải

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}& \log_{\tfrac{1}{4}}x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y+1 & (1) \\ & 128x^3\sqrt{4x^2+y^2}=y^3\sqrt{64x^2+y^2}. & (2)\end{array} \right.$
Điều kiện $x > 0$, $y > 0$.
Cách 1. Chia hai vế của $(2)$ cho $64x^2y^2$, ta có \begin{align*} &\,\,\dfrac{2x}{y^2}\sqrt{4x^2+y^2}=\dfrac{y}{64x^2}\sqrt{64x^2+y^2}\\ \Leftrightarrow&\,\, \dfrac{2x}{y}\sqrt{1+\dfrac{4x^2}{y^2}}=\dfrac{y}{8x}\sqrt{1+\dfrac{y^2}{64x^2}}\\ \Leftrightarrow&\,\, \dfrac{2x}{y}\sqrt{1+\left(\dfrac{2x}{y}\right)^2}=\dfrac{y}{8x}\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{8x}\right)^2}. \tag{3} \end{align*} Xét hàm số $f(t)=t\sqrt{1+t^2}$ xác định và liên tục trên $(0;+\infty)$ ta có $$f'(t)=\sqrt{1+t^2}+\dfrac{t^2}{1+t^2} > 0$$ với $t\in (0;+\infty)$ nên $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0;+\infty)$. Nhận thấy phương trình $(3)$ có dạng \[f\left(\dfrac{2x}{y}\right)=f\left(\dfrac{y}{8x}\right)\Leftrightarrow \dfrac{2x}{y}=\dfrac{y}{8x}\Rightarrow y=4x\] (vì $x > 0$, $y > 0$). Thay $y=4x$ vào phương trình $(1)$ ta được \[\log_{\tfrac{1}{4}}\dfrac{y}{4}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y+1\Leftrightarrow \log_{\tfrac{1}{4}}y=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y.\] Xét hàm số $g(y)=\log_{\tfrac{1}{4}}y-\left(\dfrac{1}{4}\right)^y$ với $y > 0$ ta có \[g'(y)=\dfrac{1}{y\ln\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\ln 4}{4^y}=\dfrac{-4^y+y(\ln 4)^2}{y\cdot 4^y\cdot \ln 4}.\] Nhận thấy $g'(y) < 0$ khi $y > 0$, suy ra hàm số $g(y)$ nghịch biến với $y > 0$.
Lại có $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ nên phương trình $g(y)=0$ có nghiệm duy nhất là $y=\dfrac{1}{2}$.
Từ đó tìm được $x=\dfrac{1}{8}$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=\left(\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{2}\right)$.
Cách 2. Từ phương trình $(2)$ ta có \[(4x)^2\sqrt{(4x)^4+4\cdot (4x)^2\cdot y^2}=y^2\sqrt{4\cdot(4x^2)\cdot y^2+y^4}. \tag{4}\] Nếu $4x > y > 0$ thì $VT_{(4)} > VP_{(4)}$.
Nếu $0 < 4x < y$ thì $VT_{(4)} < VP_{(4)}$.
Do đó $(4)\Leftrightarrow 4x=y$. Thay vào phương trình $(1)$ ta được $\log_{\tfrac{1}{4}}y=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y$. $(5)$
Trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oyz$, ta vẽ hai đồ thị hàm số $z=\log_{\tfrac{1}{4}}y$ và $z=\left(\dfrac{1}{4}\right)^y$, chúng cắt nhau tại một điểm với $y=\dfrac{1}{2}$ nên phương trình $(5)$ có nghiệm $y=\dfrac{1}{2}$, suy ra $x=\dfrac{1}{8}$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=\left(\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{2}\right)$.