[T7/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[1D2G3-3] Cho khai triển \[\left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342}. \] Chứng minh đẳng thức \[\mathrm{C}^{0}_{2019}a_{2019}-\mathrm{C}^{1}_{2019}a_{2018}+\mathrm{C}^{2}_{2019}a_{2017}-\mathrm{C}^{3}_{2019}a_{2016}+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1-\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0=-2019.\]

[T7/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[1D2G3-3] Cho khai triển \[\left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342}. \] Chứng minh đẳng thức \[\mathrm{C}^{0}_{2019}a_{2019}-\mathrm{C}^{1}_{2019}a_{2018}+\mathrm{C}^{2}_{2019}a_{2017}-\mathrm{C}^{3}_{2019}a_{2016}+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1-\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0=-2019.\]

Lời giải

Với $x\neq 1$, từ điều kiện \[\left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342} \tag{1}\] suy ra \begin{align*} & \begin{aligned} (x-1)^{2019}&\left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}\\ &=(x-1)^{2019}\left(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342}\right) \end{aligned}\\ \Leftrightarrow& \left(x^{2019}-1\right)^{2019}=(x-1)^{2019}\left(a_{4074342}x^{4074342}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\right). \tag{2} \end{align*} Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có

• $VT_{(2)}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2019}\mathrm{C}^k_{2019}x^{2019k}(-1)^{2019-k}$. (3)
• $VP_{(2)}=\left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{2019}\mathrm{C}^i_{2019}x^i(-1)^{2019-i}\right)\left(a_{4074342}x^{4074342}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\right)$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra

• Hệ số của $x^{2019}$ ở (3) tương ứng với $k=1$ là $\mathrm{C}^1_{2019}(-1)^{2018}=2019$.
• Hệ số của $x^{2019}$ ở (4) tương ứng với $i\in \{0;1;2;\ldots;2019\}$ là \begin{eqnarray*} && \begin{aligned} \mathrm{C}^0_{2019}(-1)^{2019}a_{2019}&+\mathrm{C}^1_{2019}(-1)^{2018}a_{2018}+\mathrm{C}^2_{2019}(-1)^{2017}a_{2017}\\ &+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}(-1)^{1}a_1+\mathrm{C}^{2019}_{2019}(-1)^0a_0 \end{aligned} \\ &=& -\mathrm{C}^0_{2019}a_{2019}+\mathrm{C}^1_{2019}a_{2018}-\mathrm{C}^2_{2019}a_{2017}+\ldots-\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1+\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0\\ &=& -\left(\mathrm{C}^{0}_{2019}a_{2019}-\mathrm{C}^{1}_{2019}a_{2018}+\mathrm{C}^{2}_{2019}a_{2017}-\mathrm{C}^{3}_{2019}a_{2016}+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1-\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0\right). \end{eqnarray*}

Từ (2) ta có điều phải chứng minh.