[T7/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[1D2G3-3] Cho khai triển \left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342}.
Chứng minh đẳng thức \mathrm{C}^{0}_{2019}a_{2019}-\mathrm{C}^{1}_{2019}a_{2018}+\mathrm{C}^{2}_{2019}a_{2017}-\mathrm{C}^{3}_{2019}a_{2016}+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1-\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0=-2019. |
Với x\neq 1, từ điều kiện \left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342} \tag{1}
suy ra
\begin{align*}
& \begin{aligned}
(x-1)^{2019}&\left(1+x+x^2+\ldots+x^{2018}\right)^{2019}\\
&=(x-1)^{2019}\left(a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{4074342}x^{4074342}\right)
\end{aligned}\\
\Leftrightarrow& \left(x^{2019}-1\right)^{2019}=(x-1)^{2019}\left(a_{4074342}x^{4074342}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\right). \tag{2}
\end{align*}
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có
- VT_{(2)}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2019}\mathrm{C}^k_{2019}x^{2019k}(-1)^{2019-k}. (3)
- VP_{(2)}=\left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{2019}\mathrm{C}^i_{2019}x^i(-1)^{2019-i}\right)\left(a_{4074342}x^{4074342}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\right). (4)
- Hệ số của x^{2019} ở (3) tương ứng với k=1 là \mathrm{C}^1_{2019}(-1)^{2018}=2019.
- Hệ số của x^{2019} ở (4) tương ứng với i\in \{0;1;2;\ldots;2019\} là
\begin{eqnarray*}
&&
\begin{aligned}
\mathrm{C}^0_{2019}(-1)^{2019}a_{2019}&+\mathrm{C}^1_{2019}(-1)^{2018}a_{2018}+\mathrm{C}^2_{2019}(-1)^{2017}a_{2017}\\
&+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}(-1)^{1}a_1+\mathrm{C}^{2019}_{2019}(-1)^0a_0
\end{aligned} \\
&=& -\mathrm{C}^0_{2019}a_{2019}+\mathrm{C}^1_{2019}a_{2018}-\mathrm{C}^2_{2019}a_{2017}+\ldots-\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1+\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0\\
&=& -\left(\mathrm{C}^{0}_{2019}a_{2019}-\mathrm{C}^{1}_{2019}a_{2018}+\mathrm{C}^{2}_{2019}a_{2017}-\mathrm{C}^{3}_{2019}a_{2016}+\ldots+\mathrm{C}^{2018}_{2019}a_1-\mathrm{C}^{2019}_{2019}a_0\right).
\end{eqnarray*}
0 nhận xét:
Đăng nhận xét