[T3/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[EX-tapchi15]%[DuongPham] Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\left(1-\dfrac{1}{b}\right)\left(1-\dfrac{1}{c}\right).$$ |
Từ giả thiết suy ra $a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}=1$ và $P=-\dfrac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}$.
Xét \begin{eqnarray*} 2(1-a)(1-b)&=&2(1+ab-a-b)\\ &=&a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}+2ab-2(a+b)+1\\ &=&(a+b-1)^2+c^2+\dfrac{1}{4}\ge c \,\, (\text{ do }\,\, c^2+\dfrac{1}{4}\ge 2\cdot c\cdot\dfrac{1}{2}=c). \end{eqnarray*}}Suy ra $(1-a)(1-b)\ge\dfrac{c}{2} > 0$.
Dấu === xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}&a+b=1\\&c=\dfrac{1}{2}.\end{array} \right.$
Mặt khác lại có
$$1-c=a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}-c=a^2+b^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge 2ab.$$ Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}&a=b\\&c=\dfrac{1}{2}.\end{array} \right.$
Do đó $$(1-a)(1-b)(1-c)\ge\dfrac{c}{2}\cdot2ab=abc.$$ Suy ra $P=-\dfrac{(1-a)(1-b)(1-c)}{abc}\le-1$; $P=-1$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\max P=-1$. %T4/502
0 nhận xét:
Đăng nhận xét