[T2/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[EX-tapchi15]%[DuongPham] Cho $a$, $b$, $c$, là các số nguyên. Tìm số tự nhiên $d$ sao cho $$\left| a-b\right|+\left| b-c\right|+\left| c-a\right|=2018^d+2019.$$ |
Cách 1.
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối $$\left|x\right|=\left\{ \begin{array}{l}&x &&\text{với}\ x\ge 0\\&-x&&\text{ với } x < 0\end{array} \right.$$ nên $\left|x\right|+x$ chia hết cho $2$, $\forall x\in \mathbb{Z}$. Áp dụng diều này ta có $$\left| a-b\right|+\left| b-c\right|+\left| c-a\right|=\left(\left| a-b\right|+a-b\right)+\left(\left| b-c\right|+b-c\right)+\left(\left| c-a\right|+c-a\right)$$ chia hết cho $2$. Do đó $2018^d+2019$ chia hết cho $2$. Suy ra $2018^d$ là số lẻ. Vậy $d=0$.
Cách 2.
Nhận xét $\left|a-b\right|$ và $a-b$; $\left|b-c\right|$ và $b-c$; $\left|c-a\right|$ và $c-a$ có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó $\left| a-b\right|+\left| b-c\right|+\left| c-a\right|$ có cùng tính chẵn lẻ với $\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)$. Nhưng do $\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0$ là số chẵn nên $\left|b-c\right|$ và $b-c$; $\left|c-a\right|$ là số chẵn. Từ đó như cách 1 tìm được $d=0$.
Cách 3.
Do vai trò $a$, $b$, $c$ trong bài toán là như nhau nên ta có thể giả sử $a\ge b\ge c$. Khi đó:
$\left| a-b\right|+\left| b-c\right|+\left| c-a\right|=a-b+b-c+a-c=2\left(a-c\right)$
Suy ra $\left| a-b\right|+\left| b-c\right|+\left| c-a\right|$ là số chẵn, từ đó như cách 1 tìm được $d=0$.
%T3/502
0 nhận xét:
Đăng nhận xét