[T1/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Chứng minh rằng $A=10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+\cdots+10^{10^{10}}-5$ chia hết cho $7$.

[T1/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019] Chứng minh rằng $A=10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+\cdots+10^{10^{10}}-5$ chia hết cho $7$.

Lời giải

Chú ý rằng $10^3+1=1001=\cdot11\cdot13$ nên $10^3$ có dạng $7k-1$ với $k$ là số nguyên dương. Với các số nguyên dương $k$ và $h$ thì $$(7k-1)(7h-1)=7(7kh-k-h)+1\ \text{và}\ (7k-1)(7h+1)=7(7kh+k-h)-1.$$ Từ đó suy ra $(7k-1)^{2t}=7m+1$ và $(7k-1)^{2t+1}=7n-1$ với các số nguyên dương $t$, $m$, $n$. Ta có $$10^{10}=10^{3\cdot 3+1}=10(10^3)^3=10(7n-1)=70n-14+4=7r_1+4$$ với các số nguyên dương $n$, $r_1$. Ta có $$10^{10^2}=10^{33\cdot 3+1}=10(10^3)^{33}=10(7k-1)^{33}=10(7q-1)=70q-14+4=7r_2+4$$ với các số nguyên dương $q$, $r_2$. Tương tự $$10^3=333\cdot 3+1,\ 10^4=3333\cdot 3+1,\ldots$$ nên $10^3=7r_3+4$,..., $10^{10^{10}}=7r_{10}+4$ với các số nguyên dương $r_3,...,\ r_{10}$. Như vậy $$\begin{align*}A&=10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+\cdots+10^{10^{10}}-5\\ &=(7r_1+4)+(7r_2+4)+\cdots+(7r_{10}+4)-5\\ &=7(r_1+r_2+\cdots+r_{10})+4\cdot10-5\\ &=7(r_1+r_2+\cdots+r_{10})+35, \end{align*}$$ chia hết cho $7$.