[T12/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] $(D)$ và $(O)$ là hai đường tròn tiếp xúc nhau tại $X$. Nếu tiếp xúc trong thì $(D)$ nằm trong $(O)$. $A$ là một điểm thuộc $(D)$ khác $X$ sao cho tiếp tuyến với $(D)$ tại $A$ cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt hoặc trùng nhau. Gọi $B$ là là một trong các giao điểm đó. Chứng minh trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn $(B;BA)$ là một tiếp tuyến của $(D)$.

[T12/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] $(D)$ và $(O)$ là hai đường tròn tiếp xúc nhau tại $X$. Nếu tiếp xúc trong thì $(D)$ nằm trong $(O)$. $A$ là một điểm thuộc $(D)$ khác $X$ sao cho tiếp tuyến với $(D)$ tại $A$ cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt hoặc trùng nhau. Gọi $B$ là là một trong các giao điểm đó. Chứng minh trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn $(B;BA)$ là một tiếp tuyến của $(D)$.

Lời giải

Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $XB$ và $(D)$; $Q$ là giao điểm thứ hai của $AP$ với $(B;BA)$; $\Delta$ là tiếp tuyến với $(D)$ tại $P$.
Vì $(O)$ và $(D)$ tiếp xúc với nhau tại $X$ nên $OB\parallel DP$. Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(D)$ tại $P$ nên $\Delta \perp DP$.
Vậy $\Delta$ qua $P$ và $\Delta\perp OB$. {(1)}

Vì $BQ=BA$ và $BA$ tiếp xúc với $(D)$ tại $A$ nên $$(QA,QB)\equiv (AB, AQ)\equiv (AB,AP)\equiv (XA,XP)\equiv(XA,XB) \left(\bmod \pi \right).$$ Do đó $A$, $X$, $B$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Vậy $P_{P/(O)}=\overline{PX}\cdot \overline{PB}=\overline{PA}\cdot \overline{PQ}=\overline{PX}\cdot \overline{PB}=P_{P/(B,BA)}.${(2)}
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta$ là trục đăng phương của $(O)$ và $(B,BA)$.