[tc54][T6/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}& x^3+x+2=8y^3-6xy+2y\\& \sqrt{x^2-2y+2}+2\cdot \sqrt[4]{x^3(5-4y)}=2y^2-x+2.\end{array} \right.$$ %%%% Tác giả: Hoàng Lê Nhật Tùng, SV K61 ngành SP Toán, ĐHQG Hà Nội

Lời giải

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}& x^2-2y+2\ge 0\\& x^3(5-4y)\ge 0.\end{array} \right.$
Phương trình đầu của hệ tương đương $$\begin{eqnarray*} & & x^3-8y^3+6xy+1+x-2y+1=0\\ & \Leftrightarrow & (x-2y+1)(x^2+4y^2+2xy-x+2y+2)=0. \end{eqnarray*}$$ }Mặt khác $$\begin{eqnarray*} x^2+4y^2+2xy-x+2y+2& = & \dfrac{1}{2}(x+2y)^2+ \dfrac{1}{2}(x-1)^2 + 2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+1\\ & > & 0. \end{eqnarray*}$$ }Do đó $x-2y+1=0$ hay $2y=x+1$. Thay $2y=x+1$ vào phương trình thứ hai của hệ phương trình, ta được $$\sqrt{x^2-x+1}+2\cdot \sqrt[4]{x^3(3-2x)}=\dfrac{(x+1)^2}{2}-x+2.$$ Vế phải của phương trình này bằng $\dfrac{1}{2}(x^2+5)$. Vế trái của phương trình cho ta điều kiện xác định là $0\le x \le 3$, và khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào các căn của vế trái, ta có $$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-x+1}+2\cdot \sqrt[4]{x^3(3-2x)}& \le & \dfrac{1}{2}\left[(x^2-x+1)+1\right]+ \dfrac{1}{2}\left[x+x+x+(3-2x)\right]\\ & = & \dfrac{1}{2}(x^2+5). \end{eqnarray*}$$ }Vì $\sqrt{x^2-x+1}+2\cdot \sqrt[4]{x^3(3-2x)}=\dfrac{(x+1)^2}{2}-x+2$ nên các bất đẳng thức Cauchy được sử dụng trong các bất đẳng thức trên đều phải là đẳng thức. Vậy $x=1$ và khi thay giá trị $x=1$ vào $2y=x+1$ ta có $y=1$ (thỏa mãn điều kiện). Thử lại hệ phương trình ta thấy $x=y=1$ đúng là nghiệm của hệ đã cho (đpcm).