[tc53][T5/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Cho các số thực $x\ge 0$, $y\ge 0$, $z\ge 0$ thỏa mãn $\max \{x;y;z\} \ge 1$. Chứng minh rằng $$x^3+y^3+z^3+(x+y+z-1)^2\ge 1+3xyz.$$ %%%% Tác giả: Trần Văn Cường, GV THPT Đakrông, Quảng Trị

Lời giải

Không mất tính tổng quát có thể giả sử $x=\max \{x;y;z\} \ge 1$. Lưu ý $x+y+z > 0$ và sử dụng hệ thức quen thuộc $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$ ta được bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với $$\begin{eqnarray*} & & (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + (x+y+z)^2 - 2(x+y+z) \ge 0\\ & \Leftrightarrow & (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + (x+y+z) - 2 \ge 0~(\text{chia cả hai vế cho}~x+y+z)\\ & \Leftrightarrow & (x^2+y^2+1-2xy-2x+2y) + (x^2+z^2+1-2xz-2x+2z) + (y^2+z^2-2yz) \\ & & +6x-6\ge 0 (\text{nhân cả hai vế với}~2)\\ & \Leftrightarrow & (x-y-1)^2 + (x-z-1)^2 + (y-z)^2 +6(x-1)\ge 0. \end{eqnarray*}$$ }Vế trái là tổng của các số hạng không âm, bất đẳng thức này đúng. Bất đẳng thức trong đầu bài được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$, $y=0$, $z=0$ và các hoán vị của chúng. } Điều then chốt của lời giải là giả sử $x=\max \{x;y;z\} \ge 1$ và sử dụng hệ thức $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$. Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh đẳng thức trên bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$. \end{nx