[tc52][T4/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác $ABC$, vẽ hai tam giác đều $ABD$ và $ACE$. Trên các cạnh $AD$, $CE$, $CB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $F$ sao cho $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{1}{3}$. So sánh độ dài của hai đoạn thẳng $MN$ và $EF$.

Lời giải

\immini { Trên cạnh $AC$ lấy điểm $I$ sao cho $\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{1}{3}$.
Ta có $\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{1}{3}$ và $\widehat{C}$ chung nên
$\triangle CAB\backsim\triangle CIF$ (c.g.c). Do đó
$\dfrac{IF}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{IF}{AD}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow IF=AM$.
Lại có $CI=CN$, từ đó suy ra $\triangle CAN=\triangle CEI$ (c.g.c) nên $AN=EI$. Từ $\triangle CAN=\triangle CEI$ suy ra $\widehat{DAB}+\widehat{CAN}=60^\circ+\widehat{CAN}=\widehat{ICE}+\widehat{IEC}=\widehat{AIE}$ (tính chất góc ngoài). Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, khi đó $\widehat{EHC}=90^\circ$, mà $\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{1}{3}$ nên $I$ thuộc đoạn thẳng $HC$ suy ra $\widehat{CIE} > 90^\circ$. } { } Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN} < \widehat{CIE}$. Hơn nữa, $\triangle CAB\backsim\triangle CIF$ (g.g) nên $\widehat{BAC}=\widehat{FIC}$. Vậy $$\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{CAN}+\widehat{BAC} < \widehat{CIE}+\widehat{FIC}=\widehat{FIE}.$$ Xét $\triangle AMN$ và $\triangle IEF$ có $AM=IF$, $AN=IE$, $\widehat{MAN} < \widehat{FIE}\Rightarrow MN < EF$.