Loading web-font TeX/Main/Regular

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc51][T3/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1+5^x=2^y+5\cdot 2^z.

Lời giải

Xét phương trình 1+5^x=2^y+5\cdot 2^z. (1)
Do x, y, z là các số nguyên dương nên 1+5^x chia 515\cdot 2^z\ \vdots\ 5. Từ (1) suy ra 2^y chia 51. Do đó y\ \vdots\ 4, đặt y=4k (k\in\mathbb{N}^*). Lại có 1+5^x chia 422^{4k}\ \vdots\ 4 nên từ (1) suy ra 5\cdot2^{z} chia 42, do đó z=1. Thay y=4kz=1 vào (1) ta được 1+5^x=2^{4k}+10\Leftrightarrow 5^x=16^k+9. \tag{2}
Do 16^k chia 319\ \vdots\ 3 nên từ (2) suy ra 5^x chia 31. Do đó x là số chẵn, đặt x=2q (q\in\mathbb{N}^*). Thay vào (2) ta được 25^q=16^k+9\Leftrightarrow (5^q+4^k)(5^q-4^k)=9.(3)
Do k,q\in\mathbb{N}^* nên 5^q+4^k\in\mathbb{N}^*, 5^q+4^k > 5^q-4^k.
Từ (3) suy ra \left\{ \begin{array}{l}& 5^q-4^k=1 \\ & 5^q+4^k=9\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& 5^q=5 \\ & 4^k=4\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& q=1 \\ & k=1\end{array} \right. \Rightarrow x=2, y=4.
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất (x;\ y;\ z)=(2;\ 4;\ 1). Đây là bài toán phương trình nghiệm nguyên dương với ba ẩn, ta nên sử dụng tính chất chia hết để tìm dần các giá trị của ẩn số.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét