Lời giải
Xét phương trình 1+5^x=2^y+5\cdot 2^z. (1)Do x, y, z là các số nguyên dương nên 1+5^x chia 5 dư 1 và 5\cdot 2^z\ \vdots\ 5. Từ (1) suy ra 2^y chia 5 dư 1. Do đó y\ \vdots\ 4, đặt y=4k (k\in\mathbb{N}^*). Lại có 1+5^x chia 4 dư 2 và 2^{4k}\ \vdots\ 4 nên từ (1) suy ra 5\cdot2^{z} chia 4 dư 2, do đó z=1. Thay y=4k và z=1 vào (1) ta được 1+5^x=2^{4k}+10\Leftrightarrow 5^x=16^k+9. \tag{2}
Do 16^k chia 3 dư 1 và 9\ \vdots\ 3 nên từ (2) suy ra 5^x chia 3 dư 1. Do đó x là số chẵn, đặt x=2q (q\in\mathbb{N}^*). Thay vào (2) ta được 25^q=16^k+9\Leftrightarrow (5^q+4^k)(5^q-4^k)=9.(3)
Do k,q\in\mathbb{N}^* nên 5^q+4^k\in\mathbb{N}^*, 5^q+4^k > 5^q-4^k.
Từ (3) suy ra \left\{ \begin{array}{l}& 5^q-4^k=1 \\ & 5^q+4^k=9\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& 5^q=5 \\ & 4^k=4\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& q=1 \\ & k=1\end{array} \right. \Rightarrow x=2, y=4.
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất (x;\ y;\ z)=(2;\ 4;\ 1). Đây là bài toán phương trình nghiệm nguyên dương với ba ẩn, ta nên sử dụng tính chất chia hết để tìm dần các giá trị của ẩn số.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét