[tc51][T3/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $1+5^x=2^y+5\cdot 2^z$.

Lời giải

Xét phương trình $1+5^x=2^y+5\cdot 2^z$. $(1)$
Do $x$, $y$, $z$ là các số nguyên dương nên $1+5^x$ chia $5$ dư $1$ và $5\cdot 2^z\ \vdots\ 5$. Từ $(1)$ suy ra $2^y$ chia $5$ dư $1$. Do đó $y\ \vdots\ 4$, đặt $y=4k$ ($k\in\mathbb{N}^*$). Lại có $1+5^x$ chia $4$ dư $2$ và $2^{4k}\ \vdots\ 4$ nên từ $(1)$ suy ra $5\cdot2^{z}$ chia $4$ dư $2$, do đó $z=1$. Thay $y=4k$ và $z=1$ vào $(1)$ ta được \[1+5^x=2^{4k}+10\Leftrightarrow 5^x=16^k+9. \tag{2}\] Do $16^k$ chia $3$ dư $1$ và $9\ \vdots\ 3$ nên từ $(2)$ suy ra $5^x$ chia $3$ dư $1$. Do đó $x$ là số chẵn, đặt $x=2q$ ($q\in\mathbb{N}^*$). Thay vào $(2)$ ta được $25^q=16^k+9\Leftrightarrow (5^q+4^k)(5^q-4^k)=9$.$(3)$
Do $k,q\in\mathbb{N}^*$ nên $5^q+4^k\in\mathbb{N}^*$, $5^q+4^k > 5^q-4^k$.
Từ $(3)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}& 5^q-4^k=1 \\ & 5^q+4^k=9\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& 5^q=5 \\ & 4^k=4\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}& q=1 \\ & k=1\end{array} \right.$ $\Rightarrow x=2$, $y=4$.
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất $(x;\ y;\ z)=(2;\ 4;\ 1)$. Đây là bài toán phương trình nghiệm nguyên dương với ba ẩn, ta nên sử dụng tính chất chia hết để tìm dần các giá trị của ẩn số.