\maid{[tc22]}[T10/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[Nguyễn Trường Sơn, dự án EX_Tapchi15] Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại để đi từ điểm $A$ đến một điểm $B$. Anh ta đã đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các góc phải điều chỉnh này bằng $\alpha < 180^\circ$. Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng đường anh ta đã đi không vượt quá $\dfrac{AB}{\cos \dfrac{\alpha}{2}}$.

Lời giải

Giả sử có tất cả $k$ lần quay tại các điểm $P_1,\ldots,P_i,\ldots,P_k$ với các góc tương ứng tại điểm $P_i$ là $\alpha_i$, với $\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_i=\alpha$.
Vì $\alpha_i < 90^\circ$ và $\alpha < 180^\circ$ cho nên đa giác $AP_1\ldots P_i \ldots P_kB$ là đa giác lồi.
Tổng các góc trong của đa giác này là $k\cdot 180^\circ$, cho nên$\colon$ $$\widehat{A}+(180^\circ-\alpha_1)+\cdots+(180^\circ-\alpha_k)+\widehat{B}=k\cdot 180^\circ \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}=\alpha < 180^\circ.$$ Suy ra $AP_1$ và $BP_k$ cắt nhau tại $C$ về phía $P_1$ và $P_k$ như hình vẽ.

Kí hiệu $M_i$ và $N_i$ tương ứng là giao điểm của đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng $P_iP_{i+1}$ tại $P_i$ và $P_{i+1}$ với đường gấp khúc $ACB (i=1,2,\ldots,k)$, thì ta có $P_iP_{i+1}\le M_iN_i\le $ độ dài $M_i$ tới $N_i$, dọc theo hai cạnh $AC$ và $CB$. Trên tia $AC$ lấy đoạn $CD=CB$.
Do đó, nếu gọi tổng độ dài đường đi là $\ell$ thì $\ell \le AC+CB=AD$.
Vì $\widehat{D}=\dfrac{\widehat{C}}{2}=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$.
Từ đó, ta có đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADB$ là $$2R=\dfrac{AB}{\sin \widehat{D}}=\dfrac{AB}{\cos \dfrac{\alpha}{2}}\ge AD\ge \ell.$$