[tc50][T2/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$). Trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$ sao cho $EF\perp BC$ và $EF=FB$. Gọi $D$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AD=AB$. Chứng minh rằng tam giác $EFD$ là tam giác cân.

Lời giải

\immini { Kẻ $FI\perp AB$ tại $I$, $FH\perp AC$ tại $H$. Ta có $AC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $A$) $\Rightarrow FI\parallel AC\Rightarrow\widehat{BFI}=\widehat{C}$ (hai góc đồng vị), mà $\widehat{EFH}=\widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{HFC}$), nên $\widehat{BFI}=\widehat{EFH}$. Xét $\triangle IBF$ và $\triangle HEF$ ta có $BF=EF$, $\widehat{BFI}=\widehat{EFH}$ (chứng minh trên), $\widehat{FIB}=\widehat{FHE}=90^\circ$ (theo cách dựng). Suy ra $\triangle IBF=\triangle HEF$ (cạnh huyền - góc nhọn) $\Rightarrow FI=FH\Rightarrow AF$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. Khi đó $\triangle ABF=\triangle ADF$ (c.g.c) $\Rightarrow FB=FD$. Lại có $BF=EF$ (giả thiết) nên $FD=EF$. Vậy tam giác $EFD$ cân tại $F$. } { } Đây là một bài toán chứng minh hình học quen thuộc, gần gũi với học sinh lớp $7$, có thể sử dụng tính chất của góc nội tiếp để chứng minh.