[tc57][T9/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Với $x$ là số thực, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\dfrac{(2x^2+5x+5)^2}{(x+1)^4+1}.$

Lời giải

Ta có: $$P=\dfrac{(2x^2+5x+5)^2}{(x+1)^4+1}=\dfrac{\left(2(x+1)^2+(x+1)+2\right)^2}{(x+1)^4+1}=\dfrac{\left(2a^2+a+2\right)^2}{a^4+1},$$ trong đó ký hiệu $a=x+1$.

• Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực không âm ta có:
  $P=\dfrac{2\left(2a^2+a+2\right)^2}{a^4+1+(a^4+1)}\le \dfrac{2\left(2(a^2+1)+\dfrac{a^2+1}{2}\right)^2}{a^4+1+2a^2}=\dfrac{\dfrac{25}{2}\left(a^2+1\right)^2}{\left(a^2+1\right)^2}=\dfrac{25}{2}.$
  Dấu $"="$ xảy ra khi $a=1\Leftrightarrow x=0$, suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{25}{2}$.
• Tìm giá trị nhỏ nhất. Ta có biến đổi $$P=\dfrac{\left(2a^2+a+2\right)^2}{a^4+1}=\dfrac{4a^4+4a^3+9a^2+4a+4}{a^4+1}=4+\dfrac{4a^3+9a^2+4a}{a^4+1}.$$ Nếu $a=0$ thì $P=4$. Xét $a\ne 0$, ta có $$P= 4+\dfrac{4a+9+\dfrac{4}{a}}{a^2+\dfrac{1}{a^2}}=4+\dfrac{4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+9}{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2}=4+\dfrac{4b+9}{b^2-2},$$ trong đó $b=a+\dfrac{1}{a}$. Suy ra $$P=\dfrac{7}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{4b+9}{b^2-2}\right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{b^2-2+8b+18}{2(b^2-2)}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{(b+4)^2}{2(b^2-2)}\ge\dfrac{7}{2}.$$ Dấu $"="$ xảy ra được khi $b+4=0 \Leftrightarrow a=-2\pm \sqrt{3} \Rightarrow x=-3\pm \sqrt{3}$.
  Suy ra giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{7}{2}.$