[tc58][T10/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và hai số nguyên dương $a, b$ sao cho $p^a+p^b$ là số chính phương.

Lời giải

Giả sử $p^a+p^b=A=c^2$.
Trường hợp 1: $a=b \Rightarrow 2p^a=c^2 \Rightarrow c=2c_1 \Rightarrow p^a=2c_1^2$.
Suy ra $p \mathbin{\vdots} 2 \Rightarrow p=2, c^2 = 2^{a+1} \Rightarrow a+1 = 2k \Rightarrow a=2k-1$.
Vậy $p=2, a=b=2k-1$.
Trường hợp 2: $a\ne b$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a > b$.
Ta có $p^a+p^b = p^b(p^{a-b}+1) \mathbin{\vdots} p^b$.
Vì $(p^b,p^{a-b}+1)=1$ nên $p^b=c_1^2, p^{a-b}+1=c_2^2,$ với $ c_1.c_2=c$, suy ra $b=2k$. Từ đó $$c_2^2-1=p^{a-b}\Rightarrow (c_2-1)(c_2+1)=p^{a-b}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c_2+1&=p^u\\c_2-1&=p^v}\,\, (u > v\ge 0, u+v=a-b).$$ Suy ra $p^u-p^v=2 \Rightarrow p^v(p^{u-v}-1)=2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p^v&=2\\p^v&=1.}$ [(i)]

Nếu $p^v=2$ thì $\left[ \begin{array}{l}p=2, v&=1\\p^{u-v}&=2} \Rightarrow u-v=1 \Rightarrow u=2$.
Vậy $a-b=u+v=3 \Rightarrow a=2k+3, b=2k.$

Nếu $p^v=1$ thì $v=0 \Rightarrow p^{u-v}-1=2 \Rightarrow p^{u-v}=3 \Rightarrow p=3, u-v=1 \Rightarrow u=1$.
Suy ra $ a-b=u+v=1 \Rightarrow a=b+1=2k+1.$

Đáp số: các bộ ba số $(p,a,b)$ cần tìm là $$(2;2k-1;2k-1), (2;2k+3;2k), (2;2k;2k+3), (3;2k+1;2k), (3;2k;2k+1)$$ với $k$ là số nguyên dương.