Lời giải
Giả sử p^a+p^b=A=c^2.Trường hợp 1: a=b \Rightarrow 2p^a=c^2 \Rightarrow c=2c_1 \Rightarrow p^a=2c_1^2.
Suy ra p \mathbin{\vdots} 2 \Rightarrow p=2, c^2 = 2^{a+1} \Rightarrow a+1 = 2k \Rightarrow a=2k-1.
Vậy p=2, a=b=2k-1.
Trường hợp 2: a\ne b. Không mất tính tổng quát, giả sử a > b.
Ta có p^a+p^b = p^b(p^{a-b}+1) \mathbin{\vdots} p^b.
Vì (p^b,p^{a-b}+1)=1 nên p^b=c_1^2, p^{a-b}+1=c_2^2, với c_1.c_2=c, suy ra b=2k. Từ đó c_2^2-1=p^{a-b}\Rightarrow (c_2-1)(c_2+1)=p^{a-b}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c_2+1&=p^u\\c_2-1&=p^v}\,\, (u > v\ge 0, u+v=a-b). Suy ra p^u-p^v=2 \Rightarrow p^v(p^{u-v}-1)=2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p^v&=2\\p^v&=1.} [(i)]
Vậy a-b=u+v=3 \Rightarrow a=2k+3, b=2k.
Suy ra a-b=u+v=1 \Rightarrow a=b+1=2k+1.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét