Processing math: 4%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc58][T10/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Tìm tất cả các số nguyên tố p và hai số nguyên dương a, b sao cho p^a+p^b là số chính phương.

Lời giải

Giả sử p^a+p^b=A=c^2.
Trường hợp 1: a=b \Rightarrow 2p^a=c^2 \Rightarrow c=2c_1 \Rightarrow p^a=2c_1^2.
Suy ra p \mathbin{\vdots} 2 \Rightarrow p=2, c^2 = 2^{a+1} \Rightarrow a+1 = 2k \Rightarrow a=2k-1.
Vậy p=2, a=b=2k-1.
Trường hợp 2: a\ne b. Không mất tính tổng quát, giả sử a > b.
Ta có p^a+p^b = p^b(p^{a-b}+1) \mathbin{\vdots} p^b.
(p^b,p^{a-b}+1)=1 nên p^b=c_1^2, p^{a-b}+1=c_2^2, với c_1.c_2=c, suy ra b=2k. Từ đó c_2^2-1=p^{a-b}\Rightarrow (c_2-1)(c_2+1)=p^{a-b}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c_2+1&=p^u\\c_2-1&=p^v}\,\, (u > v\ge 0, u+v=a-b). Suy ra p^u-p^v=2 \Rightarrow p^v(p^{u-v}-1)=2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}p^v&=2\\p^v&=1.} [(i)]
  • Nếu p^v=2 thì \left[ \begin{array}{l}p=2, v&=1\\p^{u-v}&=2} \Rightarrow u-v=1 \Rightarrow u=2.
    Vậy a-b=u+v=3 \Rightarrow a=2k+3, b=2k.
  • Nếu p^v=1 thì v=0 \Rightarrow p^{u-v}-1=2 \Rightarrow p^{u-v}=3 \Rightarrow p=3, u-v=1 \Rightarrow u=1.
    Suy ra a-b=u+v=1 \Rightarrow a=b+1=2k+1.
  • Đáp số: các bộ ba số (p,a,b) cần tìm là (2;2k-1;2k-1), (2;2k+3;2k), (2;2k;2k+3), (3;2k+1;2k), (3;2k;2k+1) với k là số nguyên dương.

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét