Lời giải
Giả sử f là hàm số thỏa mãn điều kiện f\left((x+z)(y+z)\right)=\left(f(x)+f(z)\right) \left(f(y)+f(z)\right), \,\, \forall x,y,z \in \mathbb{R}.\tag{1} Nếu f là hàm hằng, nghĩa là f(t)=c là hàm số thỏa mãn.Khi đó trong (1) thay các biến (x,y,z) bởi (0,0,0) ta được f(0)=4[f(0)]^2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(0)&=0\\f(0)&=\dfrac{1}{4}.} Thử lại thấy các hàm f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R} và f(x)=\dfrac{1}{4},\forall x\in \mathbb{R} đều thỏa mãn.
Xét trường hợp f không là hàm hằng.
Trong (1), thay các biến (x,z) bởi (0,0) ta thu được f(0)=2f(0)(f(y)+f(0)), \forall y \in \mathbb{R}. Do f không làm hàm hằng nên tồn tại y sao cho f(y)\ne \dfrac{1}{2}-f(0), suy ra f(0)=0.
Trong (1), thay z bởi -x ta được 0=(f(x)+f(-x))(f(y)+f(-x)),\forall x, y \in \mathbb{R}.\tag{2} Vì f không làm hàm hằng nên từ (2) suy ra f(x)+f(-x)=0, \forall x \in \mathbb{R}, suy ra f(x) làm hàm lẻ trên \mathbb{R}. Trong (1), thay các biến (x,y,z) bởi (t,t,t) ta thu được f(4t^2)=4(f(t))^2, \forall t \in \mathbb{R}.\tag{3} Suy ra f(t)\ge 0 khi t > 0.
Vì f là hàm lẻ trên \mathbb{R} nên chỉ cần xét f(t) khi t > 0.
Trong (1), thay các biến (y,z) bởi (x,y) ta thu được: f((x+y)^2)=(f(x)+f(y))^2, \forall x,y \in \mathbb{R}.\tag{4} Kết hợp (3),(4) ta được
4f^2\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=f\left[4.\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\right]=f\left[(x+y)^2\right]=\left[f(x)+f(y)\right]^2
Suy ra f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x,y \in \mathbb{R}.Kết hợp với f(0)=0, suy ra f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}. (5)
Do f(t)\ge 0 với t > 0 nên từ (5) suy ra f(t) là hàm cộng tính đơn điệu tăng trên \mathbb{R}^+ và khác hằng nên f(t)=at,a > 0. Thế vào (1), ta thu được a=1, suy ra f(t)=t, thử lại thấy thỏa mãn. Vậy tất cả các hàm cần tìm là f(t)=0,f(t)=\dfrac{1}{4},f(t)=t, \forall t \in \mathbb{R}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét