Loading web-font TeX/Main/Regular

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc39][T3/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm các cặp số nguyên \left(x;y\right) thỏa mãn điều kiện y^3-2(x-4)y^2+(x^2-9x-1)xy+3x^2+x=0.

Lời giải

Xét phương trình y^3-2(x-4)y^2+(x^2-9x-1)xy+3x^2+x=0 \tag{1}
Do x, y là các số nguyên nên tồn tại t \in \mathbb{Z} sao cho x=y+t.
Thay vào phương trình (1) ta có \begin{align*} & y^3 -2(y+1-4)y^2+\left[(y+1)^2- 9(y+1)-1 \right]y+3(y+t)^2 +y+t=0 \\ \Leftrightarrow & \, 2y^2 -t(3-t)y+3t^2 +t =0 \tag{2} \end{align*}
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y (t là tham số), ta tính
\Delta = t^2(3-t)^2-8(3t^2+t) =t(t+1)^2(t-8).
\Delta =0 \Leftrightarrow t \in \{ -1;0;8\}.
Nếu t=0 thì (2) có nghiệm kép y=0, suy ra x=0.
Nếu t=8 thì (2) có nghiệm kép y=-10, suy ra x=-2.
Nếu t=-1 thì (2) có nghiệm kép y=-1, suy ra x=-2.
Nếu t \ne 0, t \ne -1, t \ne 8 thì \Delta \ne 0.
Để (2) có nghiệm nguyên thì trước hết \Delta phải là số chính phương khác 0,
nên t(t-8)=a^2 \, (a \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (t-4)^2 -a^2 =16 \Leftrightarrow(t-4+a)(t-4-a)=16. Lại có (t-4+a)+(t-4-a)=2(t-4) là số chẵn; t-4+a > t-4-a (do a \in \mathbb{N^*} ). Phân tích 16 thành tích hai số nguyên chẵn khác nhau là 16= 8 \cdot 2 =(-2) \cdot (-8).
Xảy ra hai khả năng sau [1)]
  • \left\{ \begin{array}{l}&t-4+a=8\\&t-4-a=2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&t=9\\&a=3.\end{array} \right.
    Từ đó tìm được \left\{ \begin{array}{l}&x=3\\&y=-6\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}&x=-12\\&y=-21.\end{array} \right.
  • \left\{ \begin{array}{l}&t-4+a=-2\\&t-4-a=-8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&t=-1\\&a=3\end{array} \right. (loại vì đang xét t \ne -1).
  • Vậy có 5 cặp số nguyên (x;y)(0;0); (-2;-1); (-2;-10); (3;-6); (-12;-21) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét