[tc39][T3/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm các cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện \[ y^3-2(x-4)y^2+(x^2-9x-1)xy+3x^2+x=0.\]

Lời giải

Xét phương trình \[ y^3-2(x-4)y^2+(x^2-9x-1)xy+3x^2+x=0 \tag{1} \] Do $x$, $y$ là các số nguyên nên tồn tại $t \in \mathbb{Z}$ sao cho $x=y+t$.
Thay vào phương trình $(1)$ ta có \begin{align*} & y^3 -2(y+1-4)y^2+\left[(y+1)^2- 9(y+1)-1 \right]y+3(y+t)^2 +y+t=0 \\ \Leftrightarrow & \, 2y^2 -t(3-t)y+3t^2 +t =0 \tag{2} \end{align*} Coi $(2)$ là phương trình bậc hai ẩn $y$ ($t$ là tham số), ta tính
$\Delta = t^2(3-t)^2-8(3t^2+t) =t(t+1)^2(t-8)$.
$\Delta =0 \Leftrightarrow t \in \{ -1;0;8\}$.
Nếu $t=0$ thì $(2)$ có nghiệm kép $y=0$, suy ra $x=0$.
Nếu $t=8$ thì $(2)$ có nghiệm kép $y=-10$, suy ra $x=-2$.
Nếu $t=-1$ thì $(2)$ có nghiệm kép $y=-1$, suy ra $x=-2$.
Nếu $t \ne 0$, $t \ne -1$, $t \ne 8$ thì $\Delta \ne 0$.
Để $(2)$ có nghiệm nguyên thì trước hết $\Delta$ phải là số chính phương khác $0$,
nên $t(t-8)=a^2 \, (a \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (t-4)^2 -a^2 =16 \Leftrightarrow(t-4+a)(t-4-a)=16$. Lại có $(t-4+a)+(t-4-a)=2(t-4)$ là số chẵn; $t-4+a > t-4-a$ (do $a \in \mathbb{N^*} $). Phân tích $16$ thành tích hai số nguyên chẵn khác nhau là $16= 8 \cdot 2 =(-2) \cdot (-8)$.
Xảy ra hai khả năng sau [1)]

$\left\{ \begin{array}{l}&t-4+a=8\\&t-4-a=2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&t=9\\&a=3.\end{array} \right.$
Từ đó tìm được $\left\{ \begin{array}{l}&x=3\\&y=-6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}&x=-12\\&y=-21.\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}&t-4+a=-2\\&t-4-a=-8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&t=-1\\&a=3\end{array} \right.$ (loại vì đang xét $t \ne -1$).

Vậy có $5$ cặp số nguyên $(x;y)$ là $(0;0)$; $(-2;-1)$; $(-2;-10)$; $(3;-6)$; $(-12;-21)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.