[tc46][T10/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2+1$ là số chính phương.

Lời giải

[1)]

Với $n=0$ thì $2^n+n^2+1=2$ không phải là số chính phương.

Với $n=1$ thì $2^n+n^2+1=4$ là số chính phương.

Với $n > 1$.
Nếu $n$ lẻ thì $2^n+n^2+1\equiv 2\,\,(\bmod 4)$ nên $2^n+n^2+1$ không phải là số chính phương.
Nếu $n$ chẵn. Giả sử $n=2k\,\,(k\in \mathbb{N}^*)$, ta có \ $$2^{2k}+4k^2+1=a^2\,\,(a\in \mathbb{N}^*).\tag \label{1}$$ Thử với $k\in \{1;2;3;4;5;6\}$, ta thấy chỉ có $k=1$ thỏa mãn $(1)$. Với $k\geq 7$, bằng quy nạp ta chứng minh được $2^{k-1} > k^2$. Do đó $2\cdot 2^k > 4k^2$. Vậy $$\begin{eqnarray*} && 2^{2k}+2\cdot 2^k+1 > 2^{2k}+4k^2+1 > (2^k)^2\\ &\Rightarrow & (2^k+1)^2 > a^2 > (2^k)^2\Rightarrow 2^k+1 > a > 2^k. \end{eqnarray*}$$ Không có giá trị $k$ nào thỏa mãn. Vậy $n=1$, $n=2$ là tất cả các giá trị cần tìm.