[tc37][T1/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm tất cả các số nguyên $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6$.

Lời giải

Ta biến đổi như sau \begin{eqnarray*} & & 3x^2 +6y^2 +2x^2 +3y^2z^2 - 18x -6 \\ & = &3x^2 - 18x + 27 +6y^2 +2z^2 +3y^2z^2 -33\\ & = &3(x-2)^2 + 6y^2 + 2z^2 +3y^2z^2 -33 =0 \end{eqnarray*} nên ta có \[ 3(x-2)^2 +6y^2+2z^2 + 3y^2z^2 =33 \tag{1} \] Từ $(1)$ suy ra $2z^2 \, \, \vdots \, \, 3$, do đó $z^2\, \, \vdots \, \, 3$.
Do $3$ là số nguyên tố nên $z \, \, \vdots \, \, 3$.
Từ $(1)$ lại suy ra $2z^2 \le 33$, hay là $z^2 < 17$. Như vậy chỉ có thể xảy ra $z^2=0$ hoặc $z^2=9$. Xét hai trường hợp sau: [1)]

Nếu $z^2=0 \Leftrightarrow z=0$, thay vào $(1)$ ta được $3(x-3)^2+6y^2=33$.
Hay $(x-1)^2+2y^2=11$.$(2)$
Từ $(2)$ ta có $2y^2 \le 11$, suy ra $y^2 < 6$ nên $y^2$ chỉ có thể bằng $0$, $1$, $4$.
Với $y^2=0$ thay vào $(2)$ ta được $(x-3)^2=11$ (không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn).
Với $y^2=4$ thay vào $(2)$ ta được $(x-3)^2=3$ (không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn).
Với $y^2=1 \Leftrightarrow y =\pm 1$, thay vào $(2)$ ta được $(x-3)^3=9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&x=0\\&x=6} $ (thỏa mãn).

Nếu $z^2=9$ thay vào $(1)$ ra được \[3(x-2)^2+6y^2+27y^2=15 \Leftrightarrow (x-3)^2+11y^2=5.\tag{3}\] Từ $(3)$ ta có $11y^2 \le 5$, suy ra $y^2=0$, do đó $(x-3)^2=5$ (không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn).

Vậy các số nguyên $(x;y;z)$ thỏa mãn đẳng thức ở đề bài là $(0;1;0)$, $(0;-1;0)$, $(6;1;0)$, $(6;-1;0)$.