Processing math: 100%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc37][T1/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6.

Lời giải

Ta biến đổi như sau \begin{eqnarray*} & & 3x^2 +6y^2 +2x^2 +3y^2z^2 - 18x -6 \\ & = &3x^2 - 18x + 27 +6y^2 +2z^2 +3y^2z^2 -33\\ & = &3(x-2)^2 + 6y^2 + 2z^2 +3y^2z^2 -33 =0 \end{eqnarray*} nên ta có 3(x-2)^2 +6y^2+2z^2 + 3y^2z^2 =33 \tag{1} Từ (1) suy ra 2z^2 \, \, \vdots \, \, 3, do đó z^2\, \, \vdots \, \, 3.
Do 3 là số nguyên tố nên z \, \, \vdots \, \, 3.
Từ (1) lại suy ra 2z^2 \le 33, hay là z^2 < 17. Như vậy chỉ có thể xảy ra z^2=0 hoặc z^2=9. Xét hai trường hợp sau: [1)]
  • Nếu z^2=0 \Leftrightarrow z=0, thay vào (1) ta được 3(x-3)^2+6y^2=33.
    Hay (x-1)^2+2y^2=11.(2)
    Từ (2) ta có 2y^2 \le 11, suy ra y^2 < 6 nên y^2 chỉ có thể bằng 0, 1, 4.
    Với y^2=0 thay vào (2) ta được (x-3)^2=11 (không có số nguyên x nào thỏa mãn).
    Với y^2=4 thay vào (2) ta được (x-3)^2=3 (không có số nguyên x nào thỏa mãn).
    Với y^2=1 \Leftrightarrow y =\pm 1, thay vào (2) ta được (x-3)^3=9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&x=0\\&x=6} (thỏa mãn).
  • Nếu z^2=9 thay vào (1) ra được 3(x-2)^2+6y^2+27y^2=15 \Leftrightarrow (x-3)^2+11y^2=5.\tag{3} Từ (3) ta có 11y^2 \le 5, suy ra y^2=0, do đó (x-3)^2=5 (không có số nguyên x nào thỏa mãn).
  • Vậy các số nguyên (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức ở đề bài là (0;1;0), (0;-1;0), (6;1;0), (6;-1;0).

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét