[tc47][T11/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ $(n=1,2,\ldots)$ tăng nghiêm ngặt. Đặt $${S_n} = \frac{{\sqrt {{a_1}} }}{{\left[ {{a_1},{a_2}} \right]}} + \frac{{\sqrt {{a_2}} }}{{\left[ {{a_2},{a_3}} \right]}} + \cdots + \frac{{\sqrt {{a_n}} }}{{\left[ {{a_n},{a_{n + 1}}} \right]}}, \, \forall n=1,2,\ldots$$ Chứng minh rằng dãy số $(S_n)$, $n=1,2,\ldots$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$.

Lời giải

Ta có dãy số $(S_n)$, $n=1,2,\ldots$ đơn điệu tăng, do đó để hoàn thành bài toán ta chỉ cần chứng minh dãy số $(S_n)$ bị chặn trên. Với các số nguyên dương $x, y$ ta có $(x, y)[x, y]=x y$. Do đó với số nguyên dương $M\ge 2$, ta có $$\begin{align*} {S_M} &= \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{\sqrt {{a_n}} }}{{\left[ {{a_n},{a_{n + 1}}} \right]}}} = \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{\left( {{a_n},{a_{n + 1}}} \right)\sqrt {{a_n}} }}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{\left( {{a_n},{a_{n + 1}}} \right)}}{{\sqrt {{a_n}} {a_{n + 1}}}}} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{\left( {{a_n},{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)}}{{\sqrt {{a_n}} {a_{n + 1}}}}} \le \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{\sqrt {{a_n}} {a_{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{1}{{\sqrt {{a_n}} }}} - \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{{\sqrt {{a_n}} }}{{{a_{n + 1}}}}} \\ &= \sum\limits_{n = 1}^M {\frac{1}{{\sqrt {{a_n}} }}} - \sum\limits_{n = 2}^{M + 1} {\frac{{\sqrt {{a_{n - 1}}} }}{{{a_n}}}} = \frac{1}{{\sqrt {{a_1}} }} - \frac{{\sqrt {{a_M}} }}{{{a_{M + 1}}}} + \sum\limits_{n = 2}^M {\frac{{\sqrt {{a_n}} - \sqrt {{a_{n - 1}}} }}{{{a_n}}}} \\ &\le \frac{1}{{\sqrt {{a_1}} }} + \sum\limits_{n = 2}^M {\frac{{\sqrt {{a_n}} - \sqrt {{a_{n - 1}}} }}{{\sqrt {{a_n}} \sqrt {{a_{n - 1}}} }}} = \frac{1}{{\sqrt {{a_1}} }} + \sum\limits_{n = 2}^M {\frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}} }}} - \sum\limits_{n = 2}^M {\frac{1}{{\sqrt {{a_n}} }}} \\ &= \frac{2}{{\sqrt {{a_1}} }} - \frac{1}{{\sqrt {{a_M}} }} \le \frac{2}{{\sqrt {{a_1}} }}. \end{align*}$$ Như vậy dãy số $(S_n)$ bị chặn trên nên ta có điều phải chứng minh.