[T7/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: \[\left\{ \begin{array}{l}& x \notin (-\pi; \pi) \\& \sin y - \sin x = \dfrac{2xy(\pi + x)}{\pi^2 + x^2}\\& y^3 + \pi^3 = x^3 -3\pi xy.\end{array} \right.\]

[T7/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: \[\left\{ \begin{array}{l}& x \notin (-\pi; \pi) \\& \sin y - \sin x = \dfrac{2xy(\pi + x)}{\pi^2 + x^2}\\& y^3 + \pi^3 = x^3 -3\pi xy.\end{array} \right.\]

Lời giải

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}& x \notin (-\pi; \pi) &&(1)\\& \sin y - \sin x = \dfrac{2xy(\pi + x)}{\pi^2 + x^2}&&(2)\\& y^3 + \pi^3 = x^3 -3\pi xy.&&(3)\end{array} \right. $(I)
Ta có: \begin{align*} (3) \Leftrightarrow & [(y + \pi)^3 - x^3] - 3xy(y + \pi) + 3\pi xy = 0\\ \Leftrightarrow&(y + \pi - x)[(y + \pi)^2 + (y + \pi)x + x^2 ] - 3\pi y ( y + \pi - x) = 0\\ \Leftrightarrow&(y + \pi - x)[y^2 + \pi^2 + + x^2 - y\pi + x\pi + xy ]= 0\\ \Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}& y + \pi - x = 0&&(3')\\& y^2 + \pi^2 + + x^2 - y\pi + x\pi + xy = 0.&&(3'')\end{array}\right. \end{align*} Ta có: \begin{align*} (3'') \Leftrightarrow & \left(x + \dfrac{y + \pi}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4}(y - \pi)^2 = 0\\ \Leftrightarrow&\left\{ \begin{array}{l}& x + \dfrac{y + \pi}{2} = 0\\& y = \pi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&x = -\pi\\& y = \pi.\end{array} \right. \end{align*}}Rõ ràng $(x, y) = (-\pi, \pi)$ thỏa mãn $(1)$ và $(2)$.
Vậy $(x, y) = (-\pi, \pi)$ là nghiệm của hệ $(I)$.
Xét $(3'): y + \pi - x = 0 \Leftrightarrow y = x - \pi$.
Thay vào phương trình $(2)$ ta được: \begin{align*} VT(2) = & \sin y - \sin x = \sin(x - \pi) - \sin x = -2\sin x.\\ VP(2) = & \dfrac{2yx(\pi + x)}{\pi^2 + x^2} = \dfrac{-2x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2}. \end{align*} Do đó: $(2) \Leftrightarrow \sin x - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2} = 0. (2')$
Đặt $f(x) = \sin x - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2}$.
Vì $f(x)$ là hàm lẻ do $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ nên nếu $x = \alpha$ là nghiệm của $(2')$ thì $x = -\alpha$ cũng là nghiệm của $(2')$. Do đó chỉ cần xét $x \geq 0$.
Theo $(1)$, $x \notin (-\pi; \pi)$ nên $x \leq -\pi$ hoặc $x \geq \pi$. Do đó chỉ cần xét $x \geq \pi$.
Do $x \geq \pi$ nên $u = \pi - x \leq 0$.
Mà $\sin u \geq u$ với mọi $u \leq 0$ nên ta có: $\sin x = \sin(\pi - x) \geq \pi - x$..
Mặt khác, với mọi $x \geq \pi$ ta có: \[\pi - x - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2} = (\pi - x)\left( 1 - \dfrac{x(\pi + x)}{\pi^2 + x^2} \right) = = \dfrac{\pi(\pi - x)^2}{\pi^2 + x^2} \geq 0.\] Suy ra với mọi $x \geq \pi$ ta có: \[f(x) = \sin x - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2} = \sin (\pi - x) - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2} \geq (\pi - x) - \dfrac{x(\pi^2 - x^2)}{\pi^2 + x^2} \geq 0.\] Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow x = \pi$. Vậy $y = 0$.
Do $x = \pi$ là nghiệm nên $x = -\pi$ (khi ấy $y = -2\pi$) cũng là nghiệm.
Vậy hệ $(I)$ có ba nghiệm \[(-\pi; \pi), (\pi,0), (-\pi,-2\pi).\]