[T8/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm trong đường tròn không trùng với $O$. Đường thẳng $\Delta$ di động luôn đi qua $P$ và không đi qua $O$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$, $F$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. Gọi $S$ là giao điểm của đoạn thẳng $TP$ với $(O)$. Gọi $\omega$ là đường tròn qua $S$, $T$ đồng thời tiếp xúc với $(O)$. Chứng minh rằng đường tròn $\omega$ luôn đi qua một điểm cố định khi $\Delta$ di động.

[T8/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm trong đường tròn không trùng với $O$. Đường thẳng $\Delta$ di động luôn đi qua $P$ và không đi qua $O$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$, $F$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. Gọi $S$ là giao điểm của đoạn thẳng $TP$ với $(O)$. Gọi $\omega$ là đường tròn qua $S$, $T$ đồng thời tiếp xúc với $(O)$. Chứng minh rằng đường tròn $\omega$ luôn đi qua một điểm cố định khi $\Delta$ di động.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm $EF$, kẻ $ON \perp ST$ ($N$ thuộc $ST$) và gọi $K$ là giao điểm của $ON$ và $EF$. Khi đó vì $P$ là trực tâm của $\triangle TOK$ nên có $OP \perp KT $.$(1)$
Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $OET$, ta có $OE^2 = \overline{OM} \cdot \overline{OT}$. Mặt khác \[\overline{OM} \cdot \overline{OT} = \overline{ON} \cdot \overline{OK}\;\;\mbox{và}\;\; OE = OS\] nên $OS^2 = \overline{ON} \cdot \overline{OK}$. Suy ra $\triangle SOK$ vuông tại $S$, từ đó $KS$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $S$ và do vậy $KS$ cũng tiếp xúc với đường tròn $\omega$. Tiếp theo gọi $H$ là giao điểm thứ hai của $KT$ với $\omega$ thi do $KS$ tiếp xúc với $\omega$ nên $KS^2 = \overline{KT} \cdot \overline{KH}$.
Mà theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOK$ có $KS^2 = \overline{KN} \cdot \overline{KO} \Rightarrow \overline{KT} \cdot \overline{KH} = \overline{KN} \cdot \overline{KO}$, dẫn đến tứ giác $ONHT$ nội tiếp, suy ra: \[\widehat{OHT} = \widehat{ONT} = 90^\circ \Rightarrow OH \perp TK \tag{2}.\] Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ba điểm $O$, $P$, $H$ thẳng hàng.
Vì tứ giác $MPHT$ nội tiếp, nên $ \overline{OP} \cdot \overline{OH} = \overline{OM} \cdot \overline{OT} = OE^2$ (không đổi), suy ra điểm $H$ cố định.
Do đó đường trọn $\omega$ luôn đi qua điểm $H$ cố định.
Nhận xét: Cũng có thể giải bài này bằng cách sử dụng tính chất của phép nghịch đảo ( xét nghịch đảo cực $O$, phương tích $k = R^2$, với $R$ là bán kính của đường tròn $(O)$) hoặc tính chất cực và đường đối cực ( xét cực - đối cực đối với đường tròn $(O)$).