[T9/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho các số thực $x$, $y$, $z$ sao cho $x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S=\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^x+1}+\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2y}-2\mathrm{e}^y+1}+\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2z}-2\mathrm{e}^z+1}.\]

[T9/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho các số thực $x$, $y$, $z$ sao cho $x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S=\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^x+1}+\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2y}-2\mathrm{e}^y+1}+\dfrac{1}{4\mathrm{e}^{2z}-2\mathrm{e}^z+1}.\]

Lời giải

Đặt $a=\mathrm{e}^x$, $b=\mathrm{e}^y$, $c=\mathrm{e}^z$ (với $a > 0, b > 0, c > 0$). Ta có $abc=\mathrm{e}^{xyz}=\mathrm{e}^0=1$. Khi đó \[S=\dfrac{1}{4a^2-2a+1}+\dfrac{1}{4b^2-2b+1}+\dfrac{1}{4c^2-2c+1}=\dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{4-\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{b^2}}{4-\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{4-\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{c^2}}.\] Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có \[S\ge \dfrac{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 }{12-2\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}.\tag{1}\] Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có \[\left( a+\dfrac{1}{a}\right)+\left( b+\dfrac{1}{b}\right)+\left( c+\dfrac{1}{c}\right) \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}+2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{b}}+2\sqrt{c\cdot\dfrac{1}{c}}=6.\tag{2}\] Vì $abc=1$ nên $a=\dfrac{1}{bc}$, $b=\dfrac{1}{ac}$, $c=\dfrac{1}{ab}$, kết hợp với (2) ta được \begin{eqnarray*} & & \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 6\\ &\Leftrightarrow & \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \right)\ge 12-2\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\\ &\Leftrightarrow & \left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge 12-2\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\\ &\Leftrightarrow & \dfrac{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 }{12-2\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\ge 1 \end{eqnarray*} (vì $12-2\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}-1 \right)^2 +\left(\dfrac{1}{b}-1 \right)^2+\left(\dfrac{1}{c}-1 \right)^2+9 > 0$).
Kết hợp với (1), ta có $S\ge 1$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=0$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng $1$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=0$.
Nhận xét Đây là bài toán về bất đẳng thức vô tỉ có điều kiện. Ta cần đặt ẩn phụ để đưa về bất đẳng thức hữu tỉ rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Có thể chứng minh $S\ge 1$ bằng cách sử dụng hàm số như sau: Xét hàm số $$f(t)=\dfrac{1}{4t^2-2t+1}+\dfrac{2}{3}\ln t$$ (với $t > 0$), sử dụng đạo hàm để chứng minh $f(t)\ge f(1)=\dfrac{1}{3}$. Do đó $$S=f(a)+f(b)+f(c)\ge \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1.$$