[T10/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho ba dãy số $\left(a_n \right) $, $\left(b_n \right) $, $\left(c_n \right) $ được xác định như sau $a_0=2$, $b_0=9$, $c_0=2020$ và \[\left\{ \begin{array}{l}&a_n=-\dfrac{1}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&b_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}-\dfrac{1}{4}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&a_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}-\dfrac{1}{4}c_{n-1}\end{array} \right. (\forall n=1,2,\ldots).\] Tìm các giới hạn $\lim a_n$, $\lim b_n$, $\lim c_n$. Hãy tổng quát hóa bài toán.

[T10/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho ba dãy số $\left(a_n \right) $, $\left(b_n \right) $, $\left(c_n \right) $ được xác định như sau $a_0=2$, $b_0=9$, $c_0=2020$ và \[\left\{ \begin{array}{l}&a_n=-\dfrac{1}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&b_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}-\dfrac{1}{4}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&a_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}-\dfrac{1}{4}c_{n-1}\end{array} \right. (\forall n=1,2,\ldots).\] Tìm các giới hạn $\lim a_n$, $\lim b_n$, $\lim c_n$. Hãy tổng quát hóa bài toán.

Lời giải

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}&a_n=-\dfrac{1}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&b_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}-\dfrac{1}{4}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\&a_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}-\dfrac{1}{4}c_{n-1}\end{array} \right. (\forall n=1,2,\ldots).\tag{1}\] Cách 1 Sử dụng bộ ba hệ số trong (1) là hoán vị vòng quanh, ta xét dãy $\left(d_n \right) $ với \[d_n=a_n^2+b_n^2+c_n^2, \quad \mbox{với mọi}\, n\in \mathbb{N}.\] Khi đó $d_0=2^2+9^2+2020^2$ và \[d_n=\left( \left(-\dfrac{1}{4} \right)^2+\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 +\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 \right)\left(a_{n-1}^2+b_{n-1}^2+c_{n-1}^2 \right)=\dfrac{9}{16}\left(a_{n-1}^2+b_{n-1}^2+c_{n-1}^2 \right).\tag{2}\] Từ (2), sử dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được \[d_n=\left(\dfrac{9}{16} \right)^n\left( 2^2+9^2+2020^2\right), \,\, n\in \mathbb{N}^* \tag{3} \] Vì $\lim \left(\dfrac{9}{16} \right)^n=0$ nên từ (3), ta thu được $\lim d_n=0$. Từ (2) suy ra $$\lim a_n=\lim b_n=\lim c_n=0.$$ Cách 2 Từ (1) suy ra $a_n+b_n+c_n=\dfrac{3}{4}\left(a_{n-1}+b_{n-1} +c_{n-1}\right) $.
Sử dụng quy nạp ta chứng minh được \[a_n+b_n+c_n=\dfrac{3}{4}\left(a_0+b_0 +c_0\right)=\left( \dfrac{3}{4}\right) ^n\cdot 2031. \] Từ đây suy ra \begin{align*} a_n&=-\dfrac{1}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}b_{n-1}+\dfrac{1}{2}c_{n-1}\\ &=-\dfrac{3}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}+b_{n-1} \right)\\ &=-\dfrac{3}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{3}{4}\right) ^{n-1}+2031. \end{align*}Ta thu được dãy sai phân bậc nhất $a_n=-\dfrac{3}{4}a_{n-1}+\dfrac{1}{2}\cdot\left( \dfrac{3}{4}\right) ^{n-1}\cdot 2031 $.{(4)}
Đặt $g_n=a_n-677\cdot\left( \dfrac{3}{4}\right) ^{n}$. Ta có \[2g_n=-\dfrac{3}{2}g_{n-1}\Rightarrow g_n=\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}g_0.\] Suy ra $a_n=-675\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}+677\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}$, $n=1,2,\ldots$
Tương tự $b_n=-675\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}+677\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}$, $n=1,2,\ldots$,
$a_n=-675\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}+677\cdot\left( -\dfrac{3}{4}\right) ^{n}$, $n=1,2,\ldots$
Từ đó suy ra $\lim a_n=\lim b_n=\lim c_n=0$.
Tổng quát bài toán: Cho hai bộ số $a_0$, $b_0$, $c_0$ và $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Xét ba dãy số $\left(a_n \right) $, $\left(b_n \right) $, $\left(c_n \right) $ được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}&a_n=-\alpha a_{n-1}+\beta b_{n-1}+\gamma c_{n-1}\\&b_n=\gamma a_{n-1}-\alpha b_{n-1}+\beta c_{n-1}\\&a_n=\beta a_{n-1}+\gamma b_{n-1}-\alpha c_{n-1}\end{array} \right., \forall n=1,2,\ldots\] Tìm các giới hạn $\lim a_n$, $\lim b_n$, $\lim c_n$.
Nhận xét Để giải bài toán tổng quát theo cách 1, cần thêm giả thiết $\left\{ \begin{array}{l}&|\alpha+\beta+\gamma| < 1\\&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0\\&\alpha\beta\gamma\not=0.\end{array} \right.$
Để giải bài toán tổng quát theo cách 2 thì cần thêm giả thiết $\gamma=\beta$.