[T1/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Tìm các số nguyên tố $p$, $q$, $r$ thỏa mãn $p+q^2+r^3=200$.

[T1/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Tìm các số nguyên tố $p$, $q$, $r$ thỏa mãn $p+q^2+r^3=200$.

Lời giải

Từ giả thiết $p+q^2+r^3=200$ suy ra $r^3 < 200$, do đó $r \leq 5$, mà $r$ là số nguyên tố nên chỉ xảy ra $r$ bằng $2$, hoặc $3$, hoặc $5$. Xét các trường hợp sau.

• Với $r=5$ thì từ $p+q^2+p^3=200$ suy ra $p+q^2=200-125=75$. Tổng $p+q^2$ là số lẻ nên phải có một số hạng là số chẵn, số nguyên tố chẵn là $2$.
  Nếu $p=2$ thì $q^2=73$ ( loại vì số $q$ không nguyên).
  Nếu $q=2$ thì $p=71$ ( $p$ là số nguyên tố).
• Với $r=3$ thì từ $p+q^2+p^3=200$ suy ra $p+q^2=200-27=173$. Tổng $p+q^2$ là số lẻ nên phải có một số hạng là số chẵn, số nguyên tố chẵn là $2$.
  Nếu $p=2$ thì $q^2=171$ ( loại vì số $q$ không nguyên).
  Nếu $q=2$ thì $p=169=13^2$ ( $p$ là hợp số).
• Với $r=2$ thì từ $p+q^2+p^3=200$ suy ra $p+q^2=200-8=192$, do đó $q^2 < 192$ nên $q \leq 13$. Tổng $p+q^2$ là số chẵn nên hai số hạng đều là số lẻ.
  Nếu $p=3$ thì $q=183=3 \cdot 61$ ($p$ là hợp số).
  Nếu $p=5$ thì $q=167$ ($p$ là số nguyên tố).
  Nếu $p=7$ thì $q=143=11 \cdot 13$ ($p$ là hợp số).
  Nếu $p=11$ thì $q=71$ ($p$ là số nguyên tố).
  Nếu $p=13$ thì $q=23$ ($p$ là số nguyên tố).

Vậy bài toán có bốn nghiệm $(p, q, r)$ là $(71 ; 2 ; 5)$, $(167 ; 5 ; 2)$, $(71 ; 11 ; 2)$, $(23 ; 13 ; 2)$.