[T2/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho số thực \[P=\dfrac{2^2+1}{2^3+3\cdot 3+4}\cdot\dfrac{3^2+1}{3^2+3\cdot 3+4}\ldots\dfrac{98^2+1}{98^2+3\cdot 98+4}\] (tích $97$ phân số). Chứng minh $\dfrac 6{10^4} < P < \dfrac 2{83325}$.

[T2/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho số thực \[P=\dfrac{2^2+1}{2^3+3\cdot 3+4}\cdot\dfrac{3^2+1}{3^2+3\cdot 3+4}\ldots\dfrac{98^2+1}{98^2+3\cdot 98+4}\] (tích $97$ phân số). Chứng minh $\dfrac 6{10^4} < P < \dfrac 2{83325}$.

Lời giải

Ta có với $a, b, k\in \mathbb{N}^{*}$ và $a > b > k$ thì $\dfrac ba > \dfrac{b-k}{a-k}$.$(*)$
Áp dụng (*), ta có \[\dfrac{n^2+1}{n^2+3n+4} > \dfrac{\left(n^2+1\right)-2}{\left(n^2+3n+4\right)-2}=\dfrac{n^2-1}{n^2+3n+2} =\dfrac{(n-1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n-1}{n+2} \tag{1}.\] Áp dụng $(1)$, ta được \[P > \dfrac {1}{4}\cdot\dfrac {2}{5}\cdot\dfrac {3}{6}\ldots\dfrac{97}{100}=\dfrac{1\cdot 2 \cdot 3}{98\cdot 99\cdot 100} > \dfrac 6{10^6}.\] Ta có $\dfrac{n^2+1}{n^2+3n+4} < \dfrac n{n+3},\forall n\in \mathbb{N}, n\geq 2$$(2)$
Thật vậy, \begin{eqnarray*} (2)&\Leftrightarrow&\left(n^2+1\right)(n+3) < n\left(n^2+3n+4\right)\\ &\Leftrightarrow& n^2+n+3n^2+3 < n^3+3n^2+4n\Leftrightarrow n > 1 \quad \text{(đúng với mọi )}n \geq 2 . \end{eqnarray*} Áp dụng (2) ta có $P < \dfrac {2}{5}\cdot\dfrac {3}{6}\cdot\dfrac {4}{7}\ldots\dfrac{95}{98}\cdot\dfrac{96}{99}\cdot\dfrac{97}{100}\cdot\dfrac{98}{101}=\dfrac {2}{83325}$. Nếu tính cụ thể tích hai thừa số đầu của $P$ và áp dụng $(2)$ với $n=4,5,\ldots,98$ ta được kết quả mạnh hơn \begin{eqnarray*} &&\dfrac{2^2+1}{2^2+3\cdot 2+4}\cdot\dfrac{3^2+1}{3^3+3\cdot3+4}=\dfrac{25}{154} < \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow&& P < \dfrac {1}{6}\cdot\dfrac {4}{7}\ldots\dfrac{95}{98}\cdot\dfrac{96}{99}\cdot\dfrac{97}{100}\cdot\dfrac{98}{101}=\dfrac{45}{99 \cdot 100 \cdot 101}=\dfrac {1}{49995}. \end{eqnarray*}