[T3/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Tìm tất cả các số nguyên dương $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}&a+b+c+d-3=a b\\ & a+b+c+d-3=c d.\end{array} \right.$

[T3/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Tìm tất cả các số nguyên dương $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}&a+b+c+d-3=a b\\ & a+b+c+d-3=c d.\end{array} \right.$

Lời giải

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta có $a b+c d=2(a+b+c+d)-6$. Chuyển vế, ta có đẳng thức tương đương $$(a-2)(b-2)+(c-2)(d-2)=2 \tag{*}$$ Nếu $a=\min\{a, b, c, d\}$ thì từ $(*)$ và giả thiết $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên dương, ta suy ra $-1\leq a-2\leq 1$. Chỉ có 3 khả năng xảy ra

1. Trường hợp $a-2=-1$. Trong trường hợp này $a=1$. Thay vào hai đẳng thức ban đầu, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}&c+d=2\\ & b=c d.\end{array} \right.$
   Đẳng thức $c+d=2$ cho ta nghiệm nguyên dương $(c, d)=(1,1)$ và đẳng thức thứ hai cho ta $b=1$. Nghiệm của hệ phương trình $(a, b, c, d)$ là $(1,1,1,1)$.
2. Trường hợp $a-2=0$. Ta có $a=2$, và $(*)$ là $(c-2)(d-2)=2$ cho nghiệm $(c,d)$ là các bộ $(4,3)$, $(3,4)$. Thay vào phương trình của hệ ban đầu, ta có $2+b+7-3=2b\Rightarrow b=6$. Nghiệm phương trình $(a, b, c, d)$ là bộ $(2,6,3,4)$ và $(2,6,4,3)$.
3. Trường hợp $a-2=1$, có $a=3$ và $(*)$ cho ta $b-2=c-2=d-2=1$ hay là $a=b=c=d=3$. Đem hoán vị $a$ với $b$, $c$ với $d$, cặp $(a,b)$ cho cặp $(c,d)$ của các nghiệm này, ta thu được tất cả $10$ nghiệm cho hệ phương trình ban đầu: $(1,1,1,1)$, $(3,3,3,3)$, $(2,6,4,3)$, $(6,2,4,3)$, $(2,6,3,4)$, $(6,2,3,4)$, $(3,4,6,2)$, $(3,4,2,6)$, $(4,3,6,2)$, $(4,3,2,6)$.