[T4/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=AD$, $CB=CD$ và $\widehat{A B C}=90^{\circ}$. GỌi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng $R \geq r\sqrt{2}$.

[T4/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=AD$, $CB=CD$ và $\widehat{A B C}=90^{\circ}$. GỌi $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng $R \geq r\sqrt{2}$.

Lời giải

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I;r)$. Chứng minh $R\leq r\sqrt{2}$. Thật vậy, đặt $A B=a$, $B C=b$, $C D=c$, $D A=d$. Vì tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp nên $a+c=b+d$. Dễ chứng minh được $$S_{A B C D}=\dfrac 12(a+b+c+d)r=(a+c)r \tag{1}.$$ Lại có, $2S_{A B C}\leq a b$, $2S_{A D C}\leq c d$, suy ra $2S_{ABCD}\leq a b+c d$.
Tương tự, $2S_{A B C D}\leq ad+bc$, dẫn tới $$4S_{A S C D}\leq a b+c d+a d+b c=(a+c)(b+d=(a+c)^2 \tag{2}.$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $S_{A B C D}^2\geq 4r^2S_{A B C D}\Rightarrow S_{ABCD}\geq 4r^2$.
Mặt khác, $S_{A B C D}\leq\dfrac 12A C\cdot B D\leq 2R^2$, do đó: $2R^2\geq 4r^2$ hay $R\geq r\sqrt 2$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ABCD$ là hình vuông.