Lời giải
ĐK: $ \left\{ \begin{array}{l}& x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, y \neq \dfrac{\pi}{2} + l\pi~\left(k, l \in \mathbb{Z}\right)\\& x+y \ge 0, x \le 1, y \le 1, 10x-y \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&x+y \ge 0, x \le 1, y \le 1 \\& 10x-y \le 9\end{array} \right. $ \item Từ ĐK trên suy ra $ -\dfrac{\pi}{2} < -1\le x, y \le 1 < \dfrac{\pi}{2} $. \item Do đó $ x > y \Leftrightarrow \tan x > \tan y. $ Trong khi đó
$ \left(1+\sqrt{x+y}\right)^y > \left(1+\sqrt{x+y}\right)^x \Leftrightarrow x+y > 0, y > x. $
\item Tương tự với $ x < y $. Do đó phương trình thứ nhất tương đương $ x=y, 0\le x \le 1 $. Khi đó phương trính thứ hai tương đương với
$ 3^{\sqrt{1-x}}+5^{\sqrt{1-x}}=2 \left(1+3\sqrt{1-x}\right) \Leftrightarrow f(a)=3^a+5^a-6a-2=0, a=\sqrt{1-x}, 0 \le a \le 1 $
\item Ta có $ f(0)=f(1)=0 $ và $ f'(a)=3^a\ln3+5^a\ln5-6 $ là hàm số tăng thực sự với $ 0 \le a \le 1. $
Do đó phương trình PT $ f'(a)=0 $ có không quá một nghiệm. Bởi vậy theo định lí Rolle, PT $ f(a)=0 $ có không quá hai nghiệm. Như vậy PT $ f(a)=0 $ chỉ có hai nghiệm $ a=0 $ và $ a=1. $ Suy ra hệ PT của bài toán có hai nghiệm $ x=y=1 $ và $ x=y=0 $
}
Đây là bài toán cơ bản thuộc ứng dụng của đạo hàm trong tính số nghiệm của PT.
\end{nx
0 nhận xét:
Đăng nhận xét