[tc43][T7/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}& \tan x - \tan y= \left(1+\sqrt{x+y}\right)^y-\left(1+\sqrt{x+y}\right)^x\\& 3^{\sqrt{1-x}} +5^{\sqrt{1-y}}=2\left(1+\sqrt{9-10x+y}\right) \end{array} \right.$

Lời giải

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}& x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, y \neq \dfrac{\pi}{2} + l\pi~\left(k, l \in \mathbb{Z}\right)\\& x+y \ge 0, x \le 1, y \le 1, 10x-y \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}&x+y \ge 0, x \le 1, y \le 1 \\& 10x-y \le 9\end{array} \right.$ \item Từ ĐK trên suy ra $-\dfrac{\pi}{2} < -1\le x, y \le 1 < \dfrac{\pi}{2}$. \item Do đó $x > y \Leftrightarrow \tan x > \tan y.$ Trong khi đó

$\left(1+\sqrt{x+y}\right)^y > \left(1+\sqrt{x+y}\right)^x \Leftrightarrow x+y > 0, y > x.$

\item Tương tự với $x < y$. Do đó phương trình thứ nhất tương đương $x=y, 0\le x \le 1$. Khi đó phương trính thứ hai tương đương với

$3^{\sqrt{1-x}}+5^{\sqrt{1-x}}=2 \left(1+3\sqrt{1-x}\right) \Leftrightarrow f(a)=3^a+5^a-6a-2=0, a=\sqrt{1-x}, 0 \le a \le 1$

\item Ta có $f(0)=f(1)=0$ và $f'(a)=3^a\ln3+5^a\ln5-6$ là hàm số tăng thực sự với $0 \le a \le 1.$ Do đó phương trình PT $f'(a)=0$ có không quá một nghiệm. Bởi vậy theo định lí Rolle, PT $f(a)=0$ có không quá hai nghiệm. Như vậy PT $f(a)=0$ chỉ có hai nghiệm $a=0$ và $a=1.$ Suy ra hệ PT của bài toán có hai nghiệm $x=y=1$ và $x=y=0$ } Đây là bài toán cơ bản thuộc ứng dụng của đạo hàm trong tính số nghiệm của PT. \end{nx