[tc42][T6/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $ a < b$ là hai số thực dương thỏa mãn $ a^b=b^a $. Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $ c $ sao cho $ a=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$, $ b=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1} $.

Lời giải

Ta chọn $ c=\dfrac{a}{b-a} > 0 $. Khi đó từ $ a^b=b^a $ ta có đẳng thức

$ a=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{b-a}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c $ và $ b=a\cdot\dfrac{b}{a}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1} $.

Một số bạn giải khác, bằng cách lưu ý khi $ b > a $ thì tồn tại $ k > 1 $ sao cho $ b=ka $. Đặt $ k=1+\dfrac{1}{c} $ ta dễ dàng có khẳng định của bài toán.