[tc42][T6/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $a < b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a^b=b^a$. Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $c$ sao cho $a=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$, $b=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1}$.

Lời giải

Ta chọn $c=\dfrac{a}{b-a} > 0$. Khi đó từ $a^b=b^a$ ta có đẳng thức

$a=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{b-a}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$ và $b=a\cdot\dfrac{b}{a}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1}$.

Một số bạn giải khác, bằng cách lưu ý khi $b > a$ thì tồn tại $k > 1$ sao cho $b=ka$. Đặt $k=1+\dfrac{1}{c}$ ta dễ dàng có khẳng định của bài toán.