<table border="1" style="background: rgb(251, 228, 213); border-collapse: collapse;"><tbody><tr><td style="border: 1.5pt solid rgb(237, 125, 49); width: 509.85pt;" valign="top" width="680"><p><span style="color: 2b00fe;"><b></b></span><b><span style="color: #2b00fe;">[tc42]</span></b><b><span style="color: #ff00fe;">[T6/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019]</span></b> Cho $ a < b$ là hai số thực dương thỏa mãn $ a^b=b^a $. Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $ c $ sao cho $ a=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$, $ b=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1} $. </p></td></tr > </table> ~ 1.4 Các chuyên đề toán học trong quá khứ và hiện tại 6.5

Processing math: 100%

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc42][T6/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $a < b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a^b=b^a$ . Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $c$ sao cho $a=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$ , $b=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1}$ .

By Vũ Ngọc Thành bản Vàng Pheo, xã Mường So, Phong Thổ, Lai Châu at tháng 10 03, 2020 Toán học tuổi trẻ No comments

Lời giải

Ta chọn

$c=\dfrac{a}{b-a} > 0$ . Khi đó từ

$a^b=b^a$ ta có đẳng thức

$a=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{b-a}{a}\right)^{\dfrac{a}{b-a}}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$ và

$b=a\cdot\dfrac{b}{a}=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c\cdot \left(1+\dfrac{1}{c}\right)=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1}$ .

Một số bạn giải khác, bằng cách lưu ý khi

$b > a$ thì tồn tại

$k > 1$ sao cho

$b=ka$ . Đặt

$k=1+\dfrac{1}{c}$ ta dễ dàng có khẳng định của bài toán.

Bài viết cùng chủ đề:

\maid{[tc35]}[T11/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ $(n=1,2,\ldots)$ tăng nghiêm ngặt. Đặt \[{S_n} = \frac{{\sqrt {{a_1}} }}{{\left[ {{a_1},{a_2}} \right]}} + \frac{{\sqrt {{a_2}} }}{{\left[ {{a_2},{a_3}} \right]}} + \cdots + \frac{{\sqrt {{a_n}} }}{{\left[ {{a_n},{a_{n + 1}}} \right]}}, \, \forall n=1,2,\ldots\] Chứng minh rằng dãy số $(S_n)$, $n=1,2,\ldots$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$. Lời giải Ta có dãy số $(S_n)$, $n=1,2,\ldots$ đơn điệu tăng, do đó để hoàn thành bài toán ta chỉ cần chứng minh dãy số $(S_n)$ bị chặn trên. Với các số nguyên dương $x, y$ ta có $(x, y)[x, y]=x y$. Do đó với số nguyên dương… Read More
\maid{[tc34]}[T10/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2+1$ là số chính phương. Lời giải [1)] Với $n=0$ thì $2^n+n^2+1=2$ không phải là số chính phương. Với $n=1$ thì $2^n+n^2+1=4$ là số chính phương. Với $n 1$. Nếu $n$ lẻ thì $2^n+n^2+1\equiv 2\,\,(\bmod 4)$ nên $2^n+n^2+1$ không phải là số ch… Read More
\maid{[tc25]}[T1/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Tìm tất cả các số nguyên $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6$. Lời giải Ta biến đổi như sau \begin{eqnarray*} & & 3x^2 +6y^2 +2x^2 +3y^2z^2 - 18x -6 \\ & = &3x^2 - 18x + 27 +6y^2 +2z^2 +3y^2z^2 -33\\ & = &3(x-2)^2 + 6y^2 + 2z^2 +3y^2z^2 -33 =0 \end{eqnarray*} nên ta có \[ 3(x-2)^2 +6y^… Read More
\maid{[tc32]}[T8/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Chứng minh rằng với mọi $ \triangle ABC $ ta luôn có $ \dfrac{(b+c)a}{m_a^2}+\dfrac{(c+a)b}{m_b^2}+\dfrac{(a+b)c}{m_c^2} \ge 8 $ \item trong đó $ a,b,c,m_a,m_b,m_c $ thứ tự là độ dài các cạnh $ BC, CA, AB $ và độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh $ a,b,c $. Lời giải \item Gọi $ D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $ BC, CA, AB; G $ là trọng tậm của $ \triangle ABC $. Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác $ BDGF $ ta được: \[ FD\cdot BG \le FG\cdot BD+BF\cdot GD \Righta… Read More
\maid{[tc29]}[T5/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Giải phương trình $ \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}=2. $ Lời giải {\begin{eqnarray*} && \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}=2\\ &\Leftrightarrow& \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}-2=0\\ &\Leftrightarr… Read More

0 nhận xét:

Đăng nhận xét

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.4 Các chuyên đề toán học trong quá khứ và hiện tại 6.5

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc42][T6/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $a < b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a^b=b^a$ . Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $c$ sao cho $a=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^c$ , $b=\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^{c+1}$ .

0 nhận xét:

Đăng nhận xét

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1