[T6/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020]
Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng
\[\sqrt{\dfrac{ab}{bc^2 + 1}} + \sqrt{\dfrac{bc}{ca^2 + 1}} + \sqrt{\dfrac{ca}{ab^2 + 1}} \leq \dfrac{a + b + c}{\sqrt{2}}.\]
|
Lời giải
Trong lời giải bài toán này chúng ta sẽ dùng các bất đẳng thức (BĐT) sau:
- Bất đẳng thức Buyakovsky: Với các số thực $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$:
\[(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + c^2) \geq (ax + by + cz)^2\]
Vì
\begin{align*}
(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + c^2) - (ax + by + cz)^2 &= (ay - bx)^2 + (bz - cy)^2 + (cx - az)^2\\
& \geq 0.
\end{align*}
- với các số thực dương $x$, $y$ có:
\[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}\]
Vì $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} $; $(x + y)^2 - 4xy = (x - y)^2 \geq 0$.
Ta có: \[ \sqrt{\dfrac{ab}{bc^2 + 1}} = \sqrt{\dfrac{ab}{bc^2 + abc}} = \dfrac{1}{\sqrt{c}} \cdot \sqrt{\dfrac{a}{c + a}}\]
tương tự cho hai số hạng còn lại của biểu thức ở vế trái của BĐT cần chứng minh (kí hiệu là $P$) ta thu được:
\[P = \dfrac{1}{\sqrt{c}} \cdot \sqrt{\dfrac{a}{c + a}} + \dfrac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{\dfrac{b}{a + b}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}} \cdot \sqrt{\dfrac{c}{b + c}}.\]
Sử dụng các bất đẳng thức $1)$ và $2)$ ta có:
\[P^2 \leq \left( \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \cdot \left( \dfrac{a}{c + a} + \dfrac{b}{a + b} + \dfrac{c}{b + c} \right) ;\]
Khi đó
{
\begin{align*}
\left( \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \cdot \dfrac{a}{c + a} \leq & \dfrac{a + c}{ca} \cdot \dfrac{a}{c + a} + \dfrac{a}{4b} \cdot \left( \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a}\right)\\
= &\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{4b} + \dfrac{a}{4bc} = ab + \dfrac{ca}{4} + \dfrac{a^2}{4}.
\end{align*}}
Tương tự:
\[\left( \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \cdot \dfrac{b}{a + b} \leq bc + \dfrac{ab}{4} + \dfrac{b^2}{4};\]
\[\left( \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \cdot \dfrac{c}{b + c} \leq ca + \dfrac{bc}{4} + \dfrac{c^2}{4}.\]
Suy ra:
{
\begin{align*}
P^2 \leq & \dfrac{5}{4}(ab + bc + ca) + \dfrac{1}{4}(a^2 + b^2 + c^2)\\
= & \dfrac{1}{2}(a + b + c)^2 - \dfrac{1}{4}(a^2 + b^2 + c^2 -ab - bc - ca)\\
= & \dfrac{1}{2}(a + b + c)^2 - \dfrac{1}{8} \left[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]\\
\leq & \dfrac{(a + b + c)^2}{2}.
\end{align*}}Do đó: $P \leq \dfrac{a + b + c}{\sqrt{2}}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét