[tc9][T9/504 Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Xác định hệ số của $x$ trong khai triển đa thức của biểu thức $(1+x)(1+2x)^2\cdots(1+nx)^n$.

Lời giải

Với mỗi $n\in\mathbb{N}^*$, ta có $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\tagEX{1} và với $2\leq k\in\mathbb{N}^*$ thì $(1+kx)^k=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\mathrm{C}_k^j(kx)^j$.\tagEX{2} Khi đó, hệ số tự do và hệ số của $x$ trong khai triển đa thức của biểu thức $(1+kx)^k$ là $1$ và $k^2$. Suy ra, $(1+kx)^k=1+k^2x+P_k(x)x^2$, $k=2,3,\cdots$. trong đó $P_k(x)$ là các đa thức xác định. Tiếp theo, lần lượt thay các giá trị $k$ bằng $2$, $3$, $\ldots$, $n$ ta thu được $$\begin{align*} &(1+x)(1+2x)^2\cdots(1+nx)^n\\ =&(1+x)[1+2^2x+P_2(x)x^2][1+3^2x+P_3(x)x^2]\cdots[1+n^2x+P_n(x)x^2].\end{align*}$$ Khi đó hệ số tự do và hệ số của $x$ trong khai triển đa thức của biểu thức $$(1+x)\left[1+2^2x+P_2(x)x^2\right]\left[1+3^2x+P_3(x)x^2\right]\cdots\left[1+n^2x+P_n(x)x^2\right]$$ lần lượt là $1$ và $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$. Theo $(1)$ thì hệ số của $x$ trong khai triển đa thức của biểu thức $(1+x)(1+2x)^2\cdots(1+nx)^n$ bằng $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.