[tc8][T8/504, Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] $ABC$ và $AB'C'$ là hai tam giác đều cùng hướng. $K$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$, $\triangle AB'C'$. $M$ là giao điểm của $BC'$ và $CB'$. Chứng minh rằng $MA = MK$.

Lời giải

Gọi $N$, $P$ theo thứ tự là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng $AK$ với $KB$, $KC$.

Khi đó ta thấy các tam giác $ANK$, $APK$ là tam giác đều.
Xét phép quay tâm $A$, góc quay $60^{\circ}(R_A^{60^{\circ}})$ thì \[ R_A^{60^{\circ}} \colon B \mapsto C; B' \mapsto C'; N \mapsto K; K \mapsto P. \] Từ đó theo tính chất của phép quay ta có \[ C(BMNP) = C(BB'NK) = B(CC'KP) = B(CMNP), \] suy ra ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng, dẫn đến $MA = MK$ (do $NP$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$).