[T5/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{y^2 + z^2} + \sqrt{z^2 + x^2} = 2020$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{x^2}{y + z} + \dfrac{y^2}{z + x} + \dfrac{z^2}{x + y}$.

[T5/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{y^2 + z^2} + \sqrt{z^2 + x^2} = 2020$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{x^2}{y + z} + \dfrac{y^2}{z + x} + \dfrac{z^2}{x + y}$.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)}$, ta có: $$T = \dfrac{x^2}{y + z} + \dfrac{y^2}{z + x} + \dfrac{z^2}{x + y} \geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{x^2}{\sqrt{y^2 + z^2}} + \dfrac{y^2}{\sqrt{z^2 + x^2}} + \dfrac{z^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) \tag{1}$$ Đặt $a = \sqrt{x^2 + y^2}$, $b = \sqrt{y^2 + z^2}$, $c = \sqrt{z^2 + x^2} \Rightarrow a$, $b$, $c$ dương và $a + b + c = 2020$.
Ta có: $x^2 = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$; $y^2 = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$; $z^2 = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$.
Bất đẳng thức $(1)$ trở thành: $$\begin{align*} T \geq& \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{b} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{c} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{a} \right) \tag{2}\\ = &\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( \dfrac{a^2 + c^2}{b} + \dfrac{a^2 + b^2}{c} + \dfrac{b^2 + c^2}{a} - (a + b + c)\right)\\ \geq &\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( \dfrac{2ac}{b} + \dfrac{2ab}{c} + \dfrac{2bc}{a} - 2020 \right). \end{align*}$$ } Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số hạng trong mỗi dấu ngoặc, ta có: $$\begin{align*} & \dfrac{2ac}{b} + \dfrac{2ab}{c} + \dfrac{2bc}{a}\\ = & \left( \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c}\right) + \left( \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c}\right) + \left( \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c}\right)\\ \geq & 2(a + b + c) = 2 \cdot 2020. \end{align*}$$ } Suy ra: $T \geq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2020 = 505\sqrt{2}$.
Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi $$a = b = c = \dfrac{2020}{3} \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1010\sqrt{2}}{3}.$$ Nhận xét: Sử dụng phép đặt $a = \sqrt{x^2 + y^2}$, $b = \sqrt{y^2 + z^2}$, $c = \sqrt{z^2 + x^2} \Rightarrow a$, $b$, $c$ dương và $a + b + c = 2020$.
Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc $$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{1}{3}(a + b + c)^2 \;\; \mbox{và} \;\; (a + b + c) \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right) \geq 9.$$ Từ $(2)$ ta có thể làm như sau: $$\begin{align*} &\left( \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{b} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{c} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{a} \right)\\ =&\left( \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{b} + \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{c} + \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{a} \right) - 2(a + b + c)\\ =&(a^2+b^2+c^2)\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} \right) - 2 \cdot 2020 \\ \geq & \dfrac{1}{3} (a + b + c)^2 \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} \right) - 2 \cdot 2020\\ =&3(a + b + c) - 2 \cdot 2020 = 2020. \end{align*}$$ Ngoài ra từ $(2)$ có thể sử dụng bất đẳng thức $$\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{x} + \dfrac{c^2}{x} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{x + y + z}, \forall x, y, z > 0.$$ để ước lượng.