[tc61][T1/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Cho $A=11\cdot13\cdot15+13\cdot15\cdot17+\cdots+91\cdot93\cdot95+93\cdot95\cdot97$. Hỏi $A$ có chia hết cho $5$ không?

Lời giải

Ta chứng minh kết luận mạnh hơn: \textit{Chứng minh rằng số $A$ chia hết cho $180 = 4.5.9$}.
Mỗi số hạng của tổng $A$ có dạng: $a_n=(2n+1)(2n+3)(2n+5)$, trong đó $n$ lấy các giá trị là các số nguyên liên tiếp từ $5$ đến $46$, tức là có $42$ số hạng.
Cách 1.<> Ta thấy: $$\begin{eqnarray*} 8a_n&=&8(2n+1)(2n+3)(2n+5)\\ &=&(2n+1)(2n+3)(2n+5)[2n+7-(2n-1)]\\ &=&(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)-(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5). \end{eqnarray*}$$ Cho $n$ lấy các số nguyên liên tiếp từ $5$ đến $46$ ta được $$\begin{eqnarray*} 8A&=&11\cdot13\cdot15(17-9)+13\cdot15\cdot17(19-11)+\cdots+93\cdot95\cdot97(99-91)\\ &=&(11\cdot13\cdot15\cdot17-9\cdot11\cdot13\cdot15)+\cdots+(93\cdot95\cdot97\cdot99-91\cdot93\cdot95\cdot97)\\ &=&93\cdot95\cdot97\cdot99-9\cdot11\cdot13\cdot15\\ &=&99\cdot 5(93\cdot 19\cdot 97-13\cdot 3)\\ &=& 11 \cdot 9\cdot 5\cdot 171360\\ &=&11 \cdot 9\cdot 25\cdot 4\cdot 8\cdot 1071\\ &=&8 \cdot 900\cdot 11781. \end{eqnarray*}$$ Suy ra $A=900\cdot 11781=180\cdot58905$, tức là số $A$ chia hết cho $180$.
Cách 2.<> Tổng $A$ có $42$ số hạng. Tổng hai số hạng liên tiếp của $A$ là: $$\begin{eqnarray*} a_n+a_{n+1}&=&(2n+1)(2n+3)(2n+5)+(2n+3)(2n+5)(2n+7)\\ &=&(2n+3)(2n+5)(2n+1+2n+7)\\ &=& 4(n+2)(2n+3)(2n+5). \end{eqnarray*}$$ $4(n+2)(2n+3)(2n+5)$ chia hết cho $4$, mà $A$ có $21$ tổng hai số hạng liên tiếp nên $A$ chia hết cho $4$. Chia $42$ số hạng của $A$ thành $9$ bộ, $8$ bộ đầu mỗi bộ có $5$ số hạng liên tiếp, bộ thứ $9$ có hai số hạng. Xét $5$ số hạng liên tiếp của mỗi bộ (trong $8$ bộ) là $a_n,a_{n+1},a_{n+2},a_{n+3},a_{n+4}$ trong đó $n=5k$ với $k$ bằng $1,2,\cdots 8$, thì ba số hạng đầu $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$ đều chứa thừa số $$2n+5=5(2k+1)$$ chia hết cho $5$, các thừa số đó là $15,25,\ldots , 85$, do đó các số hạng này đều chia hết cho $5$. Tổng hai số hạng còn lại $a_{n+3}+a_{n+4}$ là $$\begin{eqnarray*} &&(2n+7)(2n+9)(2n+11)+(2n+9)(2n+11)(2n+13)\\ &=&(2n+9)(2n+11)[(2n+7)+2n+13]\\ &=&(2n+9)(2n+11)(4n+20). \end{eqnarray*}$$ Ta có $(2n+9)(2n+11)(4n+20)$ chia hết cho $5$ vì $4n+20=4\cdot 5k+20=5\cdot 4(k+1)$. Còn lại bộ thứ $9$ có hai số hạng cuối cùng $91\cdot 93\cdot 95$ và $93\cdot 95\cdot 97$ đểu chia hết cho $5$. Do đó số $A$ chia hết cho $5$. Chia $42$ số hạng của $A$ thành $14$ bộ ba số hạng liên tiếp dạng $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$, trong đó mỗi số hạng đều chứa thừa số $2n+5$, mà $2n+5$ chia hết cho $3$, tương ứng với $n$ bằng $5, 8, 11, \cdots , 44$, các thừa số đó là $15, 21, 27, \cdots , 93$. Xét tổng của ba số hạng liên tiếp của mỗi bộ của $A$ là: $$\begin{eqnarray*} a_n+a{n+1}+a_{n+2} &=&(2n+1)(2n+3)(2n+5)+(2n+3)(2n+5)(2n+7)\\&&+(2n+5)(2n+7)(2n+9)\\ &=&4(n=2)(2n+3)(2n+5)+(2n+5)(2n+7)(2n+9)\\ &=&(2n+5)[(4n+8)(2n+3)+(2n+7)(2n+9)]\\ &=&(2n+5)(12n^2+60n+87)\\ &=&3(2n+5)(4n^2+20n+29). \end{eqnarray*}$$ Ta có$3(2n+5)(4n^2+20n+29)$ chia hết cho $9$ do $2n+5$ cha hết cho $3$. Mỗi tổng của ba số hạng liên tiếp của $A$ chia hết cho $9$ nên tổng của $14$ bộ ba số hạng liên tiếp của $A$ cũng chia hết cho $9$, do đó số $A$ chia hết cho $9$. Số $A$ chia hết cho $4,5,9$ mà ba số này nguyên tố cùng nhau nên số $A$ chia hết cho tích $4\cdot 5\cdot 9=180$.