[T9/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c. |
Nhận xét rằng 2\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2+(x-y)^2+y^2 > 0
nếu x^2+y^2 > 0. Do vai trò của a, b, c trong bài toán là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử a\ge b\ge c\ge 0 và b > 0. Ta có
a^3+b^3\ge c^3+a^3 \ge b^3+c^3 > 0
và
\begin{gather*}
a^3(b+c)=a^3b+ca^3\ge ab^3+c^3a=a\left(b^3+c^3\right),
c^3(b+c)=c^3a+bc^3\le ca^3+b^3c=c\left(a^3+b^3\right).
\end{gather*}
Do đó
\begin{eqnarray*}
&&\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}-a-b-c\\
&=&\frac{a^3(b+c)}{b^3+c^3}+\frac{b^3(c+a)}{c^3+b^3}+\frac{c^3(a+b)}{a^3+b^3}-a-b-c\\
&=&\left(\frac{a^3(b+c)}{b^3+c^3}-a\right)+\left(\frac{b^3(c+a)}{c^3+b^3}-b\right)+\left(\frac{c^3(a+b)}{a^3+b^3}-c\right)\\
&=&\frac{a^3(b+c)-a\left(b^3+c^3\right)}{b^3+c^3}+\frac{b^3(c+a)-b\left(c^3+a^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{c^3(a+b)-c\left(a^3+b^3\right)}{a^3+b^3}\\
&\ge & \frac{a^3(b+c)-a\left(b^3+c^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{b^3(c+a)-b\left(c^3+a^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{c^3(a+b)-c\left(a^3+b^3\right)}{c^3+a^3}\\
&=& \frac{a^3\left(b+c\right)+b^3(c+a)+c^3(a+b)}{c^3+a^3}-\frac{a\left(b^3+c^3\right)+b\left(c^3+a^3\right)+c\left(a^3+b^3\right)}{c^3+a^3}\\
&=&0.
\end{eqnarray*}
Suy ra
\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c.\tag{1}
Chú ý a^3(b+c)=a\left(b^3+c^3\right), suy ra hoặc a=b=c hoặc a=b > 0, c=0. Thử lại, ta thấy cả hai trường hợp trên, bất đẳng thức (1) đều trở thành đẳng thức.
Như vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc trong ba số a, b, c có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau, lớn hơn 0.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét