[T9/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Cho $a$, $b$, $c$ là ba số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh rằng \[ \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c. \] |
Nhận xét rằng \[ 2\left(x^2-xy+y^2\right)=x^2+(x-y)^2+y^2 > 0 \] nếu $x^2+y^2 > 0$. Do vai trò của $a$, $b$, $c$ trong bài toán là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c\ge 0$ và $b > 0$. Ta có \[ a^3+b^3\ge c^3+a^3 \ge b^3+c^3 > 0\] và \begin{gather*} a^3(b+c)=a^3b+ca^3\ge ab^3+c^3a=a\left(b^3+c^3\right),
c^3(b+c)=c^3a+bc^3\le ca^3+b^3c=c\left(a^3+b^3\right). \end{gather*} Do đó \begin{eqnarray*} &&\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}-a-b-c\\ &=&\frac{a^3(b+c)}{b^3+c^3}+\frac{b^3(c+a)}{c^3+b^3}+\frac{c^3(a+b)}{a^3+b^3}-a-b-c\\ &=&\left(\frac{a^3(b+c)}{b^3+c^3}-a\right)+\left(\frac{b^3(c+a)}{c^3+b^3}-b\right)+\left(\frac{c^3(a+b)}{a^3+b^3}-c\right)\\ &=&\frac{a^3(b+c)-a\left(b^3+c^3\right)}{b^3+c^3}+\frac{b^3(c+a)-b\left(c^3+a^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{c^3(a+b)-c\left(a^3+b^3\right)}{a^3+b^3}\\ &\ge & \frac{a^3(b+c)-a\left(b^3+c^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{b^3(c+a)-b\left(c^3+a^3\right)}{c^3+a^3}+\frac{c^3(a+b)-c\left(a^3+b^3\right)}{c^3+a^3}\\ &=& \frac{a^3\left(b+c\right)+b^3(c+a)+c^3(a+b)}{c^3+a^3}-\frac{a\left(b^3+c^3\right)+b\left(c^3+a^3\right)+c\left(a^3+b^3\right)}{c^3+a^3}\\ &=&0. \end{eqnarray*} Suy ra \[ \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\ge a+b+c.\tag{1} \] Chú ý $a^3(b+c)=a\left(b^3+c^3\right)$, suy ra hoặc $a=b=c$ hoặc $a=b > 0$, $c=0$. Thử lại, ta thấy cả hai trường hợp trên, bất đẳng thức $(1)$ đều trở thành đẳng thức. Như vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc trong ba số $a$, $b$, $c$ có một số bằng $0$ và hai số còn lại bằng nhau, lớn hơn $0$.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét