[T10/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Đặt $S_n=\sum\limits_{k=2}^{n} k\cos \dfrac{\pi}{k}$. Hãy tìm $\lim \dfrac{S_n}{n^2}$.

[T10/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Đặt $S_n=\sum\limits_{k=2}^{n} k\cos \dfrac{\pi}{k}$. Hãy tìm $\lim \dfrac{S_n}{n^2}$.

Lời giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \[ 1-x\le \cos x\le 1,\quad \forall x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \] Bất đẳng thức $\cos x\le 1$ là hiển nhiên. Ta chứng minh $\cos x\ge 1-x$, $\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$. Xét hàm số $f(x)=\cos x-1+x$. Ta có \[ f'(x)=-\sin x+1\ge 0, \quad \forall x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \] Do đó $f(x)$ là hàm tăng trên $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$. Suy ra $f(x)\ge f(0)=0$ hay $\cos x\ge 1-x$. Do đó \[ 1-\frac{\pi}{k}\le \cos \frac{\pi}{k}\le 1, \quad \forall k\ge 2. \] Từ đó \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=2}^{n}k\left(1-\frac{\pi}{k}\right)\le S_n\le \sum\limits_{k=2}^{n}k\\ &\Leftrightarrow & \frac{(n+2)(n-1)}{2}-(n-1)\pi < S_n < \frac{(n+2)(n-1)}{2}\\ &\Leftrightarrow & \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}-\frac{(n-1)\pi}{n^2} < \frac{S_n}{n^2} < \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}. \end{eqnarray*} Dễ thấy \[ \lim \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}=\lim\left[\frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}-\frac{(n-1)\pi}{n^2}\right]=\frac{1}{2}. \] Từ đó theo nguyên lí kẹp $\lim\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{1}{2}$.