[T10/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Đặt S_n=\sum\limits_{k=2}^{n} k\cos \dfrac{\pi}{k}. Hãy tìm \lim \dfrac{S_n}{n^2}. |
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 1-x\le \cos x\le 1,\quad \forall x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
Bất đẳng thức \cos x\le 1 là hiển nhiên. Ta chứng minh \cos x\ge 1-x, \forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]. Xét hàm số f(x)=\cos x-1+x. Ta có
f'(x)=-\sin x+1\ge 0, \quad \forall x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
Do đó f(x) là hàm tăng trên \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]. Suy ra f(x)\ge f(0)=0 hay \cos x\ge 1-x. Do đó
1-\frac{\pi}{k}\le \cos \frac{\pi}{k}\le 1, \quad \forall k\ge 2.
Từ đó
\begin{eqnarray*}
&&\sum\limits_{k=2}^{n}k\left(1-\frac{\pi}{k}\right)\le S_n\le \sum\limits_{k=2}^{n}k\\
&\Leftrightarrow & \frac{(n+2)(n-1)}{2}-(n-1)\pi < S_n < \frac{(n+2)(n-1)}{2}\\
&\Leftrightarrow & \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}-\frac{(n-1)\pi}{n^2} < \frac{S_n}{n^2} < \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}.
\end{eqnarray*}
Dễ thấy
\lim \frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}=\lim\left[\frac{(n+2)(n-1)}{2n^2}-\frac{(n-1)\pi}{n^2}\right]=\frac{1}{2}.
Từ đó theo nguyên lí kẹp \lim\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{1}{2}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét