[T11/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Có 100 hòn đá được xếp thành k đống. Một cách xếp được gọi là đặc biệt nếu hai đống khác nhau thì có số đá khác nhau, nhưng nếu chia tùy ý một đống thành hai đống nhỏ thì trong k+1 đống mới có những đống có số đá bằng nhau. Tìm giá trị k lớn nhất, nhỏ nhất sao cho có cách xếp đặc biệt. |
Kí hiệu 1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k là số đá của k đống. Ta có a_1+a_2+\cdots +a_k=100. Giá trị lớn nhất của k là 13. Thật vậy, dễ thấy a_i\ge i, cho nên 100=a_1+a_2+\cdots +a_k\ge 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2},
suy ra k\le 13. Con số k=13 đạt được, vì dễ kiểm tra thấy 13 đống đã 1, 2, \dots, 11, 12, 22 là một các xếp đặc biệt.
Giá trị nhỏ nhất của k là 10. Thật vậy, nếu 1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k là một cách xếp k đống đặc biết thì với mỗi i, nếu chia a_i thành 2 đống có a_i-t và t hòn đá tùy ý cho mọi t\le \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor, ở đây \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor là số nguyên lớn nhất không vượt quá \dfrac{a_i-1}{2}, thì trong một cách chia như vậy phải có một đống đá có số đá bằng bằng a_j nào đó với a_j < i. Do đó tất cả số đá trong \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor các chia trên đôi một khác nhau, suy ra có ít nhất \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor đống đá trong số đống đá có số lượng đá ít hơn a_i, suy ra \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor\le i-1, suy ra a_i\le 2i. Từ đó ta có
100=a_1+a_2+\cdots +a_k\le 2+4+\cdots +2k=k(k+1),
suy ra k\ge 10. Con số k=10 đạt được, vì dễ thấy các xếp 100 hòn đá thành 10 đống 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 là một cách xếp đặc biệt.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét