[T11/502 Toán học & tuổi trẻ số 502, tháng 4 năm 2019]%[Vũ Nguyễn Hoàng Anh, EX-TapChi15] Có $100$ hòn đá được xếp thành $k$ đống. Một cách xếp được gọi là đặc biệt nếu hai đống khác nhau thì có số đá khác nhau, nhưng nếu chia tùy ý một đống thành hai đống nhỏ thì trong $k+1$ đống mới có những đống có số đá bằng nhau. Tìm giá trị $k$ lớn nhất, nhỏ nhất sao cho có cách xếp đặc biệt. |
Kí hiệu $1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ là số đá của $k$ đống. Ta có $a_1+a_2+\cdots +a_k=100$. Giá trị lớn nhất của $k$ là $13$. Thật vậy, dễ thấy $a_i\ge i$, cho nên \[ 100=a_1+a_2+\cdots +a_k\ge 1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}, \] suy ra $k\le 13$. Con số $k=13$ đạt được, vì dễ kiểm tra thấy $13$ đống đã $1$, $2$, \dots, $11$, $12$, $22$ là một các xếp đặc biệt. Giá trị nhỏ nhất của $k$ là $10$. Thật vậy, nếu $1 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ là một cách xếp $k$ đống đặc biết thì với mỗi $i$, nếu chia $a_i$ thành $2$ đống có $a_i-t$ và $t$ hòn đá tùy ý cho mọi $t\le \left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor$, ở đây $\left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\dfrac{a_i-1}{2}$, thì trong một cách chia như vậy phải có một đống đá có số đá bằng bằng $a_j$ nào đó với $a_j < i$. Do đó tất cả số đá trong $\left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor$ các chia trên đôi một khác nhau, suy ra có ít nhất $\left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor$ đống đá trong số đống đá có số lượng đá ít hơn $a_i$, suy ra $\left\lfloor \dfrac{a_i-1}{2}\right\rfloor\le i-1$, suy ra $a_i\le 2i$. Từ đó ta có \[ 100=a_1+a_2+\cdots +a_k\le 2+4+\cdots +2k=k(k+1), \] suy ra $k\ge 10$. Con số $k=10$ đạt được, vì dễ thấy các xếp $100$ hòn đá thành $10$ đống $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, $17$, $19$ là một cách xếp đặc biệt.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét