[tc62][T2/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Tìm $2019$ số mà mỗi số có giá trị tuyệt đối không lớn hơn $0{,}5$ và tổng của ba số bất kỳ là một số nguyên.

Lời giải

Gọi các số cần tìm là: $x_1,x_2,\cdots , x_{2019}$.
Theo đề bài ta có: $-0{,}5\leq x_1,x_2,\cdots ,x_{2019}\leq 0{,}5$.
Giả sử trong $2019$ số này có ít nhất hai số khác nhau. Không mất tính tổng quát, gọi hai số đó là $x_1, x_2 \left(x_1 > x_2\right)$. Ta có: $x_1+x_3+x_4,x_2+x_3+x_4$ là các số nguyên nên $$\left(x_1+x_3+x_4\right)-\left(x_2+x_3+x_4\right)=x_1-x_2$$ là số nguyên. Mà $0\leq x_1-x_2\leq 1$ nên $x_1-x_2=1$.
Do đó $x_1=0{,}5$; $x_2=-0{,}5$. Ta lại có: $x_1+x_2+x_3=x_3$ là số nguyên. Mà $-0{,}5\leq x_3\leq 0{,}5$ nên $x_3=0$. Tương tự $x_1+x_2+x_4=x_4$ là số nguyên nên $x_4=0$. Khi đó ta xét thấy: $$x_1+x_3+x_4=0{,}5$$ không là số nguyên (mâu thuẫn với đề bài). Vậy giả sử trên là sai, suy ra: $$x_1=x_2=\cdots =x_{2019}.$$ Mà $-1{,}5\leq x_1+x_2+x_3\leq 1{,}5$ và $3x_1=x_1+x_2+x_3$ là số nguyên, do đó:

$3x_1\in \left\{-1;0;1\right\}\Rightarrow x_1\in \left\{-\dfrac{1}{3};0;\dfrac{1}{3}\right\}$.

Vậy $x_1=x_2=\cdots =x_{2019}=0$ hoặc $x_1=x_2=\cdots =x_{2019}=-\dfrac{1}{3}$ hoặc
$x_1=x_2=\cdots =x_{2019}=\dfrac{1}{3}$