[tc44][T8/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Chứng minh rằng với mọi $\triangle ABC$ ta luôn có $\dfrac{(b+c)a}{m_a^2}+\dfrac{(c+a)b}{m_b^2}+\dfrac{(a+b)c}{m_c^2} \ge 8$ \item trong đó $a,b,c,m_a,m_b,m_c$ thứ tự là độ dài các cạnh $BC, CA, AB$ và độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh $a,b,c$.

Lời giải

\item Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC, CA, AB; G$ là trọng tậm của $\triangle ABC$. Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác $BDGF$ ta được: $$FD\cdot BG \le FG\cdot BD+BF\cdot GD \Rightarrow 2bm_b\le am_c+cm_a 2b^2m_b \le abm_c+bcm_a.\tag{1}$$ \item Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác $AFDC$ ta dược: $$AD\cdot CF \le FD\cdot AC + AF\cdot CD \Rightarrow 4m_am_c \le 2b^2+ac \Rightarrow 4m_am_bm_c.\tag{2}$$ \item Từ ($1$) và ($2$) suy ra: $$4m_am_bm_c\le bcm_a+acm_b+abm_c \Rightarrow \dfrac{ab}{m_am_b}+\dfrac{bc}{m_bm_c}+\dfrac{ca}{m_cm_a} \ge 4.\tag{3}$$ \item Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\item $\dfrac{(b+c)a}{m_a^2}+\dfrac{(c+a)b}{m_b^2}+ \dfrac{(a+b)c}{m_c^2}= \left(\dfrac{ab}{m_a^2}+\dfrac{ab}{m_b^2}\right)+\left(\dfrac{bc}{m_b^2}+\dfrac{bc}{m_c^2}\right)+\left(\dfrac{ca}{m_c^2}+\dfrac{ca}{m_a^2}\right)$ \item $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \ge \dfrac{2ab}{m_am_b}+\dfrac{2bc}{m_bm_c} +\dfrac{2ca}{m_cm_a} \ge 8$ (theo ($3$)).

\item Đẳng thức xảy ra và chỉ khi $\triangle ABC$ đều. } Bất đẳng thức ($3$) cũng có thể chứng minh nhờ kết quả sau: Với $P$ là điểm bất kì trong tam giác $ABC$ ta có bất đẳng thức $\dfrac{PA\cdot PB}{ab}+\dfrac{PB\cdot PC}{bc} +\dfrac{PC \cdot PA}{ca} \ge 1$ (BĐT Hayashi). \end{nx